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0條直線的空間含有1個區域。一條直線把乙個空間劃分為2個。兩條，可以分為4個區域。那麼n條直線最多可以把乙個平面空間分為多少各區域？針對這個問題，我們任然是採用三步走。
簡單公式或者遞推
通項公式
看看簡單情況，
第二步是為了分析問題的某種形式的解。可以是遞推公式等。但是怎麼分析這個問題。假如我們有n-1條直線已經存在這個平面裡。當第n條直線出現，和其他直線相交的時候。我們發現，只要和其中一條直線相交，那麼這條直線左邊的空間將被分為2半。也就是說，只要只要相交就會有乙個空間區域被分開為兩個。那麼n-1直線和第n條直線有多少個交點？n-1個交點。而最終直線出發的那個空間也會被分為2半。這樣我們可以說，只要有n-1交點，那麼就會有n個區域被分成兩半
t (n
)⩽t(
n−1)
+nt(n) \leqslant t(n-1)+n
t(n)⩽t
(n−1
)+n上界證明了，那麼看看下界。第n條直線，和前面n-1條直線，只要不平行。必定也就是至少有n-1個交點。所以
t (n
)⩾t(
n−1)
+nt(n) \geqslant t(n-1)+n
t(n)⩾t
(n−1
)+n故而
t (n
)=t(
n−1)
+nt(n) = t(n-1)+n
t(n)=t
(n−1
)+n我們來看看通項公式
t (n
)=n+
t(n−
1)=n
+n−1
+t(n
−2)=
n+n−
1+n−
2+⋯+
1+1t(n)=n+t(n-1)=n+n-1+t(n-2)=n+n-1+n-2+\cdots+1+1
t(n)=n
+t(n
−1)=
n+n−
1+t(
n−2)
=n+n
−1+n
−2+⋯
+1+1
使用高斯求和公式，我們可以得到
t (n
)=n(
n+1)
2+1t(n)=\frac+1
t(n)=2
n(n+
1)+
1變種問題，假如直線不是筆直的直線。而是呈銳角的折線。那麼n條折線最多可以把乙個平面空間劃分為多少個區域？
根據前面的介紹我們觀察到
沒一條折線減少2個區域。而且是最少減少2個區域。只有如第一幅圖的布局才會讓相交點最少。這樣減少的區域才最少。我們可以得到
z n=
l2n−
2n=2
n(2n
+1)/
2+1−
2n=2
n2−n
+1,for n⩾
0\begin \mathrm_}=& \mathrm_}-2 \mathrm=2 \mathrm(2 \mathrm+1) / 2+1-2 \mathrm \\ &=2 \mathrm^-\mathrm+1, \quad \text \mathrm \geqslant 0 \end
zn=l
2n−
2n=2
n(2n
+1)/
2+1−
2n=2
n2−n
+1,for n⩾
0
POJ 2074 直線相交
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