1. 矩陣乘以向量：ma=b
1.0 矩陣可以看做向量變換的一種表示("動詞")——矩陣m乘以向量a表示對向量a施加向量變換m，使向量a變換成乙個新的向量b，二者是同一座標系下的不同客觀向量
1.1 矩陣可以看做向量「垂直投影+縮放」的一種表示——矩陣m乘以向量a表示將向量垂直投影到座標系m上（m的兩行是兩個投影軸）並縮放該投影軸長度倍，得到的結果為b。特殊的，當m每行都是單位向量時（比如m是正交矩陣），即相當於將a投影到座標系m上，投影結果即為b（此時縮放倍數為1 ，相當於不縮放）。
1.2 矩陣可以看做座標系的乙個宣告("形容詞」）——ma表示向量a定義在座標系m下（m的兩列是兩個座標軸），即矩陣m相當於向量a的座標系宣告。（同理b=ib表示b定義在座標系i下，ma=b的等號表示定義在座標系m上的a和定義在座標系i上的b在基準座標系下表示同一客觀向量）。
1.3 矩陣可以看做向量形式不變下的基變換的一種表示——把ma看成mia，也可以說對基i施加變換m，變成了基m，向量形式還是a，但此時基m下的a，不再等價於基準座標系（i）下的客觀向量a，而是等價於基準座標系下的b，即客觀向量a和客觀向量b只是在不同座標系下具有相同表現形式——客觀向量a在i座標系下表現為a，客觀向量b在m座標系下也表現為a。
1.4 矩陣可以看作客觀向量不變下的基變換的一種表示——ma=b，即a=m-1b,表示將客觀向量a放到新的座標系m-1中，得到的座標是b，即m可以表示在客觀向量不變的情況下進行基變換。變換後，m-1座標系下的向量形式b只是基準座標系下的客觀向量a的在另乙個座標系下的另一種表示，二者本質是同乙個客觀向量。常見的m一般為正交基，此時基變換後，在以m的列向量為基的座標系中，新座標值相當於將客觀向量投影到m的兩個行向量上的投影值。
2. 矩陣乘以矩陣：mn=p
2.1 矩陣m、n都看做變換——矩陣m乘以矩陣n表示，將m和n表示的變換復合成乙個新的變換p，即施加p的變換效果等價於先施加m變換，再施加n變換
2.2 矩陣看作投影，矩陣n看作向量組（這裡假設m是正交基，n的一列乙個樣本）——矩陣m乘以n表示將原始向量組從原始基i變換到m基（m的各行是基），即相應的將各樣本n投影到m基上得到新的樣本表示p
2.3 矩陣m看做變換，矩陣n看做座標系——矩陣m乘以矩陣n表示，對座標系n施加變換，得到新的座標系p，
2.4 矩陣m、n都看作座標系——矩陣m乘以矩陣n表示，在座標系m下度量座標系n，即矩陣m相當於座標系n的度量（座標系）宣告
解釋：1.1：這裡可以把m寫成分塊矩陣[m1;m2]，而b=[b1;b2]，則由ma=b可得，b1=, b2=，尖括號表示內積。又b1==|m1|*proj_m1(a)，即內積表示投影後再縮放，b2同理。所以說，矩陣可以表示對向量先投影再縮放。特殊的，當m每行，即m1和m2，都是單位向量時，由於a與單位向量的內積就 等於在其上面的投影，所以此時相當於只有投影。
1.2：這裡可以把m寫成分塊矩陣[m1,m2]; 而a=[a1,a2]t. 則ma = a1*m1+a2*m2,回想一下我們解析幾何裡面的(x,y)=x*e_x+y*e_y, 是不是很類似呢？模擬下也就是說，ma就表示在m1和m2為基下空間裡的乙個向量，這個向量在兩個軸上分別是a1個單位和a2個單位（即客觀向量在m座標系的m1和m2軸上的投影分別是a1和a2），我們可以直接用a作為m座標系下客觀向量的表示，但是需要宣告是在m座標系下，即寫成ma形式。所以說ma表示定義在m座標系下的向量a（他等於價於定義在i下的b，即二者在基準座標系下都是同乙個向量）
1.3：矩陣可以對向量施加變換，也可以對基施加變換，二者是相對的，結合1.2可以理解，對基i施加變換m後相當於對原有向量形式a指定了新的基mi=m，此時得到的ma實際上對應基準座標系下的b，而不是原來的基準座標系下的a了，即通過改變基而不改變向量形式來使得客觀向量發生變換。
1.4：直觀解釋不太方便，我們反向來推。假設我們將乙個p座標系下的向量a，放在q座標系下表示，表示結果為向量b，由1.2可知，由於二者本質是同一客觀向量，則應該滿足pa=qb。若令p=i，q=m-1則表示，我們要將基準座標系i下的向量a表示為座標系m-1下的向量形式b，對應a=m-1b，也就是ma=b。另一方面，如果我們令p=m，q=i，則表示我們要將座標系m下的a表示為基準座標系下i的b，同樣對應ma=b，即是相當於1.3的另一種解釋。可見，這種以1.2為依據的解釋方法是具有普適性的。
辨析1.1，1.3和1.2，1.4：1.1中是座標系不變，對a施加m變換，結果是a變成另乙個向量b，即二者實際上是同一座標系下的不同客觀向量的不同表示。1.3而1.2（靜態解釋）中是對a宣告處於座標系m下，它對應於處於座標系i下的b，即實際上二者在基準座標系中是同一客觀向量。1.3中，則是將a投影到新的座標系m（單位基）得到新的向量b，即實際上原基準座標系中的a和m座標系中的b仍是同一客觀向量在不同座標系下的表示。（若m不是單位基，則投影後又有縮放，也就不是原客觀向量了）
辨析1.2-1.3：1.2和1.3是兩個不同的理解思路。1.2是一種靜態的觀點，即分別看ma和b，二者都是乙個客觀向量在某個座標系下的一種表示形式，當二者所表示的向量對應的是（基準座標系下的）同乙個客觀向量，它們就劃上了等號。1.3是一種動態的觀點，即整體看ma=b，是表示對a執行某種操作得到了b，這裡的操作就是投影。注意：1.2裡面說的投影是指，a（a1和a2）是客觀向量在m座標系下的投影，所以可以用a作為客觀向量在m座標系下一種表示（但是要註明m，就有了ma這種形式）。而1.3裡面說的投影是指，b（b1和b2）是（客觀）向量a在m投影系下的投影結果。雖然都有a，都是在m上的投影，但是1.2中的a是"客觀向量x在m座標系的投影結果"，即a只是客觀向量在m座標系下一種表現形式（分身），投影的主體是客觀向量，而1.3中的則a可以看作"客觀向量本身"，我們就是把a投影到m上，a就是投影主體，投影結果是b。
辨析1.0-1.4：先給乙個結論：向量在正交基上的垂直投影值即為該向量在該正交基下的座標值。（因為確定座標的本質方法是向量加法——平行四邊形法則，當基是正交基時，投影法剛好等同於向量加法，二者都變成了「矩形法則」，這一結論可以擴充套件到基為相互垂直的向量，不需要是單位向量）。。令m=[m1；m2]，b=[b1；b2]，且m是正交基，則m-1=mt=[m1'，m2']。由1.0，行向量m1'和m2』為單位向量的矩陣m乘以向量a等於b，表示將向量a投影到m的兩個行向量上，結果為b。由上述結論——「向量在正交基上的投影，即為該向量在該正交基下的座標」，此時也就是表示b為向量a在新的基m1'和m2』下的座標。由1.4，矩陣m乘以向量a表示客觀向量不變的條件下的基變換（或者說向量"分身"），即基由原始基i轉化為m-1=[m1'，m2']，相應的向量形式分身（變換）為b，也同樣就是說此時向量a在新的基m1'和m2』下的座標為b。所以，1.0和1.4兩種解釋在正交基m上得到統一。
關於"客觀向量"和「向量形式」這一說法：我們知道，客觀物體的存在不依賴於座標系，我們生活的三維空間裡沒有畫座標軸，但是物體還是客觀存在的。座標軸的作用只是可以讓我們將客觀存在的物體表示出來，而且不同座標系下物體一般具有不同表示，我們一般將這些表示稱為向量。可以說，客觀向量就是客觀存在的物體，座標系就是"放在某個角度的照相機"，而該座標系下的向量形式（簡稱向量）就是"某個角度的**"（客觀物體的一種像）。沒有照相機，你還是你，而有了照相機就可以把你照（表示）出來，而且不同角度的照相機一般照出來的（表示出來的）結果還一般不一樣，但是可以相互轉換（比如不同視角的**通過仿射變換可以互相轉換）。那麼我們想要去研究比較這些**（物體的一種表現形式）和照相機（座標系）的時候（比如需要確定兩張**是不是來自同乙個物體——客觀向量），因為**（向量）來自不同角度的照相機（座標系），不能直接比較出來，所以我們需要轉換到乙個共同的角度（參考係）下比較，而我們一般習慣選擇的角度就是正面（基準參考係i）。所以比較兩個不太角度**是不是來自同乙個物體（兩個向量是不是來自同乙個客觀向量）時，我們只需要拿起兩張**觀察一下，我們的大腦會通過想象將它們都轉換到正面的樣子（基準座標系）下，此時在相同參考係下，相等就是說明為同一物體（同一客觀向量）。需要注意的是，我們要將物體（客觀向量）量化描述為它的乙個表現形式（向量）時必須需要乙個座標系，我們預設選擇的座標系就是標準正交基（因為它符合我們對抽象的1的概念），也就是說我們平時單獨寫的向量或者矩陣，除非像1.2那樣"宣告"，向量或者矩陣裡面的數字都預設是以標準正交基為單位長度的度量結果，一般我們把標準正交基作為我們心裡的標尺，所以一般也把它的度量結果當做"實際長度"。
2.2：
2.3：
1也可以結合2來解釋，即將ma寫成mia
用2.1解釋：矩陣i施加的變換是」不變「，復合上m的變換，結果就是相當於只施加m變換
用2.3解釋：a原來的座標系是i，對其座標系進行變換，得到新的座標系mi=m，即現在ma不再是座標系i下的向量表示，而是座標系m下的向量表示，而且它等價於基準座標系（i）中的b（比如a=[1;1], 原來是i座標系下的向量表示，乘以了m=[2,0 ;0,2]後，a變成m座標系下的表示ma，雖然在兩個軸上仍然是1個單位長度，但是因為這個單位長度的度量變了（變為2倍），所以它實際是等於基準座標系下的[2;2]，就是b）。
用2.4解釋：a原本是在座標系i下的度量結果，乘以m後，mi表示座標系又i是在在座標系m下的度量結果，所以就說a是在mi=m下的度量結果
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