點乘和叉乘

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定義：點乘公式

點乘幾何意義

叉乘公式​

叉乘幾何意義, 

問題：我知道向量乘分為叉乘和點乘,矩陣乘不分什麼叉乘和點乘吧?如果存在各是什麼?線性代數上沒有,但在一些高階書上也有人提矩陣的叉乘,點乘.不能理解

-----矩陣也可構成乙個空間,也就是可以作為向量,自然也就有內積（點乘）,外積（叉乘）,定義方式一致.

向量是由n個實數組成的乙個n行1列（n*1）或乙個1行n列（1*n）的有序陣列；

向量的點乘,也叫向量的內積、數量積，對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作，點乘的結果是乙個標量

對於向量a和向量b：

a和b的點積公式為：

要求一維向量a和向量b的行列數相同。

點乘的幾何意義是可以用來表徵或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

推導過程如下，首先看一下向量組成：

定義向量：

根據三角形餘弦定理有：

根據關係c=a-b（a、b、c均為向量）有：

即：向量a，b的長度都是可以計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：

根據這個公式就可以計算向量a和向量b之間的夾角。從而就可以進一步判斷這兩個向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向關係，具體對應關係為：

a·b>0    方向基本相同，夾角在0°到90°之間

a·b=0    正交，相互垂直  

a·b<0    方向基本相反，夾角在90°到180°之間 

對於向量a和向量b：

a和b的叉乘公式為：

其中：根據i、j、k間關係，有：

在3d影象學中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建x、y、z座標系。如下圖所示： 

點乘和叉乘

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點乘和叉乘

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向量點乘和叉乘

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