23 劍指offer 整數中1出現的次數

求出1~13的整數中1出現的次數,並算出100~1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於後面問題他就沒轍了。acmer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數（從1 到 n 中1出現的次數）。

解題思路：

思路1：暴力，原本以為過不了，竟然過了。。。

**如下：（都不好意思貼上**了 7^7

class solution 
int ans = 1;
int tol;
for (int i = 2; i <= n; i++)
tol = tol / 10;}}
return ans;
}};

思路2：咳咳，接下來我們用溫柔的解法來解釋這道題目，其實這道題目就是總結找規律的題目，我之前想到的是分別統計每個位數（個位、十位、百位。。）上「1」的個數，然後求和即可，奈何當時思路不清晰，沒有總結出乙個統一的規律，之後稍加梳理，便可以總結出相應的規律。

首先我們來看個位，

對於個位來說，「1」的出現僅僅是1，11上的個位，21上的個位等等，可以看出1的出現週期是每10個出現一次，因此我們可以通過個位以上的高位數字得到個位上1的個數，同時要注意特殊情況！當數字是20的時候，只出現了2個1，但是十位有進製，因此當個位是0的時候我們需要特殊處理。綜上，我們可以得到個位上出現1的個數為：

n/10 * 1+(n%10!=0 ? 1 : 0)

我們接下來看十位數出現1的個數，十位出現1僅僅是在10~19，110~119。。。這裡把10~19定義為乙個完整的週期，因此我們可以得到，當十位數字大於1時，就會有完整的週期出現，這時十位數字出現1的個數僅僅是由十位的高位數字所就決定；當十位數字等於1時，這時存在乙個不完整的週期，這個不完整週期中1的個數由十位的低位數字決定；當十位數字等於0時，缺少乙個完整週期。綜上，可以得到十位數字出現1的個數為，

下面我們繼續來看百位，有了十位做鋪墊，我們很容易就可以推導出百位上1出現的個數，即當百位數字大於1，有完整的整週期，由高位數字決定整週期的數目；當百位數字等於1，存在不完整週期，由低位數字決定不完整週期中1的個數；當百位數字等於0，缺少乙個完整週期，綜上，可以得到百位數字上1出現的個數，

這時我們已經發現了規律，把個位的計算公式也寫成通式的形式，即，

綜上，我們可以得到這個題的答案是：

看牛客網的大神覺得太多的if-else讓**變得複雜，所以想把判斷語句改為更簡單的形式，即當不完整週期出現的時候選擇不完整週期，不完整週期不存在的時候（為負數或i）選擇0 或 i，具體表示式如下：

min(max((n mod (i*10))−i+1,0),i)

按照這個思路寫的**如下：

class solution 
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i = i * 10)
else
}else 
else 
}ans += n/dri*i;
}return ans;
}};

思路3：研究思路2的推導，我們發現不論是否存在不完整週期，1的個數都由當前位數的高位決定整體數目，低位決定不完整週期的1的個數，因此對n進行分割，分為兩部分，高位n/i，低位n%i

當i表示百位，且百位對應的數》=2,如n=31456,i=100，則a=314,b=56，此時百位為1的次數有a/10+1=32（最高兩位0~31），每一次都包含100個連續的點，即共有(a%10+1)*100個點的百位為1

當i表示百位，且百位對應的數為1，如n=31156,i=100，則a=311,b=56，此時百位對應的就是1，則共有a%10(最高兩位0-30)次是包含100個連續點，當最高兩位為31（即a=311），本次只對應區域性點00~56，共b+1次，所有點加起來共有（a%10*100）+(b+1)，這些點百位對應為1

當i表示百位，且百位對應的數為0,如n=31056,i=100，則a=310,b=56，此時百位為1的次數有a/10=31（最高兩位0~30）

綜合以上三種情況，當百位對應0或》=2時，有(a+8)/10次包含所有100個點，還有當百位為1(a%10==1)，需要增加區域性點b+1

這裡補8非常巧妙，是因為當百位為0，則a/10==(a+8)/10，當百位》=2，補8會產生進製位，效果等同於(a/10+1)。

**如下：

int count=0;

long long i=1;

for(i=1;i<=n;i*=10)

return count;

}};

其實通過思路2和思路3的分析，我們不僅可以得到1的個數，也可以得到數字1~9任意乙個數字出現的次數，同時數字0情況比較特殊，需要單獨進行分析。

參考資料：牛客網

23 劍指offer 整數中1出現的次數

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整數中1出現的次數（劍指offer）

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