其基於以下兩個定理。
fermat小定理
若n是素數，則∀a(
a̸≡0
(mod
n)
)\forall a(a \not\equiv 0 \pmod)
∀a(a̸
≡0(m
odn)
),有an−
1≡1(
modn
)a^ \equiv 1 \pmod
an−1≡1
(mod
n).二次探測定理
若n是素數，則x2≡
1(mo
dn
)x^2 \equiv 1 \pmod
x2≡1(m
odn)
只有平凡根x=±
1x=\pm1
x=±1
,即x =1
,x=n
−1
x=1,x=n-1
x=1,x=
n−1.
費馬小定理鼎鼎有名，而二次探測定理由z
pz_p
zp是域，域中無零因子容易得到。
注意這兩個定理都是敘述了素數的必要條件，而miller-rabin對於要檢驗的n，是選取若干個a，檢驗是否滿足這兩個必要條件。顯然，如果某個必要條件不滿足，那麼斷言不是素數是正確的。但是，選了好幾個a，都滿足這兩個必要條件，n是質數還是合數是無法確定的，但是miller-rabin演算法選擇忽略這一點，直接斷言n是素數。
換句話說，miller-rabin演算法斷言乙個數不是素數一定是正確的，斷言乙個數是素數，則可能是錯誤的。但是，實際上，會被誤判為素數的合數，是很少的。而且每選取乙個符合條件的a，通過檢驗出錯的概率不超過1
2\frac
21.因此實際應用中使用miller-rabin演算法是可行的。
實際上，選取乙個a，僅僅基於費馬小定理給出的必要條件做斷言的檢測演算法，被錯誤斷言為素數的合數稱作基於a的偽素數。
而通過選取各個符合條件的a，僅僅基於費馬小定理，進行斷言的檢測演算法，被錯誤斷言為素數的偽素數就是卡麥可數。
假設n
nn是奇數，令n=m
×2q(
q≥1)
n=m \times 2^q (q \geq 1)
n=m×2q
(q≥1
),其中m
mm是奇數.
對於序列amm
odn,
a2mm
odn,
a4mm
odn,
…,a2
q×mm
od
na^m \bmod n, a^ \bmod n, a^ \bmod n,\ldots,a^ \bmod n
ammodn
,a2m
modn
,a4m
modn
,…,a
2q×m
modn
.最後一項就是費馬小定理中的an−
1a^
an−1
, 並且每一項都是前一項的平方。
我們一項一項往後計算。
當然，如果第一項是1，由於不存在二次探測的方程，所以不檢驗前面一項（或者認為前面一項符合條件）。
使用了快速冪模和快速冪加模板mod_sys。下面**只是miller-rabin核心**。
// 如果只是int範圍內，可以將pow_v2改為pow，mlt改為普通乘法
bool
miller_rabin
(ll a, ll n, ll q, ll m, mod_sys& mod)
else
}return
(a==1)
&&(is_ordinary)
;// 最後一項
}// 使用miller_rabin檢測是否是素數
const
int kcheckcnt =8;
// 為了隨機數
random_device rd;
mt19937_64 gen(rd
());
bool
miller_rabin
(ll n)
while
(m&1^1
);// 隨機數生成，[1,n-1] 均勻分布
uniform_int_distribution<
>
dis(
1, n-1)
; mod_sys mod;
mod.
set_mod
(n);
for(
int i =
0; i < kcheckcnt;
++i)if(
!miller_rabin
(dis
(gen)
, n, q, m, mod)
)return
false
;return
true
;}
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