正數陣列的最小不可組成和

題目

給定乙個正數陣列arr，其中所有的值都是整數，以下是最小不可組成和的概念：把arr每個子集內的所有元素加起來會出現很多值，其中最小的記為min，最大的記為max。在區間[min, max]上，如果有數不可以被arr某乙個子集相加得到，那麼其中最小的那個數就是arr的最小不可組成和。在區間[min, max]上，如果所有的數都可以被arr的某乙個子集相加得到，那麼max + 1是arr的最小不可組成和。

高階題目

如果已知正數陣列arr中肯定有1這個數，是否能更快地得到最小不可組成和

原問題：使用動態規劃。arr中所有數的相加和sum即是該陣列的最大累加和，所有arr子集的累加和必然在[0, sum]區間上。生成長度為sum+1的dp陣列，dp[i] == true表示i這個累加和可以被arr的子集相加得到，否則不能。如果arr[0…i]這個範圍上的數組成的子集可以累加出k，那麼arr[0…i+1]這個範圍上的數組成的子集中必然可以累加出k + arr[i+1]。時間複雜度o(n*sum)，空間複雜度o(sum)

def unformedsum1(arr):
import sys
if arr == none or len(arr) == 0:
return 1
summax = 0
summin = sys.maxsize
for i in range(len(arr)):
summin = min(summin,arr[i])
summax += arr[i]
dp = [false for i in range(summax+1)]
dp[0] = true
for i in range(len(arr)):
for j in range(summax,arr[i]-1,-1):
if dp[j-arr[i]]:
dp[j] = true
for i in range(summin,len(dp)):
if not dp[i]:
return i
return summax + 1

高階問題：具體過程如下：將arr進行排序，排序後必然有arr[0] == 1。從左往右計算每個位置i的range。range表示當計算到位置arr[i]時，[1, range]上所有的數都可以被arr[0…i-1]的某乙個子集累加出來。初始時range = 0。如果arr[i] > range+1。說明在arr[0…i]上，range+1這個數一定不能累加出來。此時返回range + 1即可。如果arr[i]≤range+1arr[i]≤range+1，說明[1,range+arr[i]]區間上所有的正數都可以被arr[0…i]上的某乙個子集累加出來，所以令range += arr[i]，然後繼續計算下乙個位置。時間複雜度o(nlogn)，空間複雜度o(1)。

def unformedsum2(arr):  
if arr == none or len(arr) == 0:
return 1
arr.sort()
range_ = 0
for i in range(len(arr)):
if arr[i] <= range_ + 1:
range_ += 1
else:
break
return range_+1

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正數陣列的最小不可組成和 高階問題

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