C 最長上公升子串行

題目描述

現有數列a1，a2，a3……an。在其中找到嚴格遞增序列ai1，ai2，ai3，……aik（1 <= i1 < i2 < i3 < …… < ik <= n），請找出序列a的最長上公升子串行的長度，既k的最大值。

輸入格式

第一行：乙個整數n。

第二行：n個整數a1，a2，a3……an。

輸出格式

一行，最大的k。

輸入樣例

10510 89710 1312 2513

輸出樣例

提到dp，就一定就要去想：狀態、轉移方程、初值和答案了。

狀態：dp[i]指在1~i這i個數中，必須包含a[i]這個數的最長上公升子串行。

轉移方程：if(a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)（1 <= j <= i - 1）

其實這個的意思就是：如果說在1~(i - 1)這(i - 1)個數中，a[j] < a[i]，a[i]就可以接上a[j]，形成乙個比dp[j]又多了1的遞增序列，因此每次判斷並取最大值就行了。

初值：dp[i] = 1（乙個數本身就是乙個遞增序列）。

答案：max

（ps：nr指序列長度的上限）

# include
# include
# include
# include
# include
using
namespace std;
# define for(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
# define _for(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--)
const
int nr =
100000
;int n, ans;
int a[nr +2]
, dp[nr +2]
;int
main()
printf
("%d\n"
, ans)
;return0;
}

二維動態規劃的時間複雜度為on^2，太多了，我們想去優化，可是我們發現直接在二維上改好像改不了，沒辦法，只好再想乙個新的方法了。

這次，我們開乙個新的陣列f，f[i]表示當上公升子串行長度為i時，此子串行最後乙個元素的最小值。我們會發現這個f陣列是隨著i值的增加，f[i]不斷增大的單調佇列。因為如果長度為i的上公升子串行最後一位都為f[i]了，那長度(i + 1)的最後一位至少也得是f[i] + 1了吧。

這樣我們從1到n乙個元素乙個元素的分析，當到了第i個元素時，我們在f陣列中找第乙個大於等於a[i]的f[k]，這就代表長度為(k - 1)的上公升子串行最後一位的最少值是f陣列中最後乙個小於a[i]的數，所以就讓我們就可以把a[i]放到長度為(k - 1)的這個上公升子串行的後面，形成乙個新的長度為k的這個上公升子串行，接下來更新f[k]的值f[k] = min(f[k], a[i])可我們發現我們找f[k]時就說了f[k]是f陣列中第乙個大於等於a[i]的數，所以直接f[k] = a[i]就好了。

下圖僅供參考。

其中，在f陣列中找第乙個大於等於a[i]的f[k]時,可以用到二分查詢函式中的lower_bound函式。

如果你還沒有學過lower_bound可以到此**學習lower_bound函式的用法

這樣時間複雜度就從on^2降到了onlogn，大大減少了時間的消耗。

以下為**：

# include
# include
# include
# include
# include
using
namespace std;
# define for(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
# define _for(i, a, b) for(int i = a; i >= b; i--)
const
int nr =
100000
;int n, ans;
int a[nr +2]
;int f[nr +2]
;int
main()
printf
("%d\n"
, ans)
;return0;
}

剩下的這三種都與第一種十分相像：

ps：cmp函式的寫法：

bool
cmp(
int x,
int y)

C 最長上公升子串行

最長上公升子串行 c

最長上公升子串行

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