動態規劃(dynamic programming)是運籌學的乙個分支，是求解決策過程(decision process)最優化的數學方法。20世紀50年代初美國數學家r.e.bellman等人在研究多階段決策過程(multistep decision process)的優化問題時，提出了著名的最優化原理(principle of optimality)，把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解，創立了解決這類過程優化問題的新方法——動態規劃。
動態規劃的核心是狀態及狀態轉移方程
y =d
p(x1
,x2,
x3,.
..xn
)y = dp(x1,x2,x3,...x_n)
y=dp(x
1,x2
,x3,
...x
n)dp(
x1,x
2,x3
,...
,xn)
=kdp
(x11
,x12
,x13
,..x
1n).
..
dp(x_1,x_2,x_3,...,x_n) = kdp(x_11,x_12,x_13,..x_1n)...
dp(x1
,x2
,x3
,...
,xn
)=kd
p(x1
1,x
12,
x13
,..x
1n)
...確定狀態轉移方程需要明確
（1）自變數
確定決定每種狀態的變數有幾個
例如座標中的x,y等
（2）因變數的意義
即 dp(x1,x2,x3,…x_n)的含義
（3）狀態如何變化
即當前狀態與其他狀態之間的關係
具體如何實施和把握，我們通過下面的題目來探索
在這裡借用leetcode上關於動態規劃的幾個題，談一些自己的見解。在這裡和大家一起share。
按照我自己的理解，我循序漸進得通過幾個例子談一下動態規劃
乙個機械人位於乙個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記為「start」 ）。
機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為「finish」）。
問總共有多少條不同的路徑？
這是乙個簡單且經典的動態規劃（小學生都會做）問題。
根據上述方**，
（1）**（自變數）**我們可以假定（i，j）代表第i行，第j列
（2）**（因變數）**dp[i][j]表示start到（i，j）的路徑數量
注意：（1）（2）的合理選取至關重要，可能影響整個演算法的複雜度以及狀態轉移確定的難度
（3）**（狀態轉移）**dp[i][j]如何由前序狀態決定？
分析具體問題發現
d p[
i][j
]=dp
[i−1
][j]
+dp[
i][j
−1
]dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
dp[i][
j]=d
p[i−
1][j
]+dp
[i][
j−1]
在此之前，我們還必須明確
初始化狀態：
dp[0][0] = 1 dp[0][i] = 1 dp[i][0] = 1
變數細節控制
i - 1 > 0
j - 1 > 0
完成上述步驟，我們可以輕而易舉寫出這道題的**
public
intuniquepaths
(int m,
int n)
for(
int j =
1; j < m; j++
)//transfer
for(
int i =
1; i < m; i++)}
return dp[m -1]
[n -1]
;}
機械人每次只能向下或者向右移動一步。機械人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記為「finish」）。
現在考慮網格中有障礙物。那麼從左上角到右下角將會有多少條不同的路徑？
這是problem one的乙個小變形，大家可以自行練習
只需要簡單修改狀態轉移即可。
即對存在(i,j)位置存在障礙物時，修改dp[i][j] = 0
public
intuniquepathswithobstacles
(int
obstaclegrid)
else
for(
int i =
1; i < n; i++
)else
}for
(int j =
1; j < m; j++
)else
}//transfer
for(
int i =
1; i < m; i++
)else}}
return dp[m -1]
[n -1]
;}
給定乙個整數陣列nums，找到乙個具有最大和的連續子陣列（子陣列最少包含乙個元素），返回其最大和。
我們依然嚴格執行我們的方**
（1）自變數是什麼？
不妨令（i，j）為從nums的第i個位置到第j個位置的子串行和
（2）因變數是什麼？
子串行和
（3）狀態怎麼轉移？
d p[
i][j
]=dp
[i][
j−1]
+num
s[j]
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + nums[j]
dp[i][
j]=d
p[i]
[j−1
]+nu
ms[j
]初始化狀態
dp[0][0] = nums[0];
dp[i][i] = nums[i]
看到這，so easy！！！！！
但是不妨反思一下，這種做法的複雜度是**o（n^2）**吧
這個方法雖然******但會不會複雜度太高了呢？？
顯然如果你在leetcode上使用這個複雜度的**提交，tle就會來到你身邊
因此，我們需要注意：動態規劃最大限度降低複雜的有效方法是
減少自變數數目
思考過後…
發現，其實自變數乙個就夠了
如果利用逐步求解，以連續陣列結束位置i為每一步的解，dp[i]記錄了以此位置作為子串行結束位置的最大和。
此時，我們需要的子串行一定是dp中最大的乙個。
事情就變得簡單了。
d p[
i]=m
ax
dp[i] = max\
dp[i]=
max因此，
public
intmaxsubarray
(int
nums)
}return maxnum;
}
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