Edit Distance編輯距離與動態規劃

編輯距離是指將乙個字串轉化為另外乙個字串，需要的最少的編輯操作次數，這些操作包括增加、刪除或者替換某個字元。可以看出，編輯距離越大，說明兩個字串的相似度越小；相反，編輯距離越小，說明這兩個字串的相似程度越大。兩個字串的編輯距離為0則說明這兩個字串相同。

編輯距離的計算方式比較多，比較著名的有萊文斯坦距離（levenshten distance）和最長公共子串長度（longest common substring length）。

比如：字串mitcmu和mtacnu的萊文斯坦距離是3，最長公共子串長度是4.

萊文斯坦距離就是找出兩個字串之間的差異度，即最小的編輯次數。

這個問題其實可以使用回溯來解決，看你能否想到，思路如下：

依次考察乙個字串中的每個字元，跟另乙個字串中的字元是否匹配，比如a[i]和b[j]如果匹配，則繼續考察a[i+1]和b[j+1].但如果a[i]和b[j]不匹配呢？如果不匹配，則有以下幾種方式來處理：

其實回溯計算的過程如果沒有重複子問題則直接就用回溯就可以了，但是如果有較多的重複子問題動態規劃則是更高效的方式。

dp思想解決問題的關鍵其實找到狀態轉移方式，而萊文斯坦距離的dp狀態轉移方式其實有三種，比如對於長度分別是n和m的字元陣列a和b來說:

如果：a[i]!=b[j]，那麼：min_edist(i, j) 就等於：

min(min_edist(i-1,j)+1, min_edist(i,j-1)+1, min_edist(i-1,j-1)+1)

如果：a[i]==b[j]，那麼：min_edist(i, j) 就等於：

min(min_edist(i-1,j)+1, min_edist(i,j-1)+1，min_edist(i-1,j-1))

其中，min_edit(i,j)表示考察到a[i]和b[j]時經過的最小的編輯距離；min 表示求三數中的最小值。

試著理解下:

無論是min_edist(i-1,j)還是min_edist(i,j-1)，下乙個狀態如果是min_edist(i,j)必定是其中乙個且僅是乙個字串往後移動了乙個下標到達的min_edist(i,j)。這說明發生了編輯，編輯距離加一了。

當a[i]!=b[j]時, min_edist(i-1,j-1)需要加1容易理解因為a[i]和b[j]不等需要編輯。

當a[i]==b[j]時，min_edist(i-1,j-1)不需要加1，因為字元a[i]和b[j]相等不需要編輯。

這裡有點難理解：

min_edist(i,j-1)或者min_edist(i-1,j)轉移到min_edist(i,j)應該加1，因為min_edist(i,j-1)或者min_edist(i-1,j)表示的是編輯距離，而編輯距離表示的是達到次數x時兩個字串相等。既然相等就肯定同時往後移動下標，所以不能簡單理解為編輯距離，而應該思考min_edist(i-1,j)和min_edist(i,j)之間的狀態轉移關係。

mindist[i-1][j]或mindist[i][j-1]到mindist[i][j]的轉移，就是在字串中增加了乙個字元

比如hello和hllo，當i指向e，j指向l的時候，往hllo中加入字元e成為hello，那麼此時j-1就是e，

j是l，就相當於是mindist[i][j-1]到mindist[i][j]的轉移.

於是he和hel的編輯距離mindist[i][j]為mindist[i][j-1]+1

思路：如果 a[i] 與 b[j] 互相匹配，我們將最大公共子串長長度加一，並且繼續考察 a[i+1] 和 b[j+1]

如果 a[i] 與 b[j] 不匹配，最長公共子串長度不變，此時如下兩種處理方式：

狀態轉移公式：

如果：a[i]==b[j]，那麼：max_lcs(i, j) 就等於： max(max_lcs(i-1,j-1)+1, max_lcs(i-1, j), max_lcs(i, j-1))；

如果：a[i]!=b[j]，那麼：max_lcs(i, j) 就等於： max(max_lcs(i-1,j-1), max_lcs(i-1, j), max_lcs(i, j-1))；

其中 max 表示求三數中的最大值。

package com.study.algorithm.dp;
/** * @auther: jeffsheng
* @date: 2019/10/21 16:02
* @description: 編輯距離的實現
* */
public
class
editdistance
if(j < m)
if(edist < mindist)
return;}
// 兩個字元匹配
if(a[i]
== b[j]
)else
}/**
* 動態規劃思想解決編輯距離問題
* 即由前乙個狀態決定後乙個狀態
* @param a 字元陣列a
* @param n a的長度n
* @param b 字元陣列b
* @param m b的長度m
* @return
*/public
intlwstdp
(char
a,int n,
char
b,int m)
else
if(j !=0)
else
}// 初始化第 0 列:a[0..i] 與 b[0..0] 的編輯距離
for(
int i =
0; i < n;
++i)
else
if(i !=0)
else
}// 按行填表
for(
int i =
1; i < n;
++i)
else}}
return mindist[n-1]
[m-1];
}private
intmin
(int x,
int y,
int z)
if(y < minv)
if(z < minv)
return minv;
}/**
* 動態規劃思想+最長公共子串長度法來計算編輯距離
* @param a
* @param n
* @param b
* @param m
* @return
*/public
intlcs
(char
a,int n,
char
b,int m)
else
if(j !=0)
else
}// 初始化第 0 列：a[0..i] 與 b[0..0] 的 maxlcs
for(
int i =
0; i < n;
++i)
else
if(i !=0)
else
}// 填表
for(
int i =
1; i < n;
++i)
else}}
return maxlcs[n-1]
[m-1];
}private
intmax
(int x,
int y,
int z)
if(y > maxv)
if(z > maxv)
return maxv;
}public
static
void
main
(string[
] args)
}

Edit Distance編輯距離與動態規劃

Edit Distance 編輯距離

編輯距離 Edit distance

編輯距離（Edit Distance）

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Edit Distance 編輯距離

編輯距離 Edit distance

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