Karger演算法求最小割

首先要知道什麼是割(cut)。割是把圖的節點劃分成兩個集合s和t，那麼有一些邊的端點是分別處於s和t中的。所謂最小割就是使這種邊的數目最少的劃分。

karger演算法是隨機演算法，它的描述很簡單：

每次隨機選擇一條邊，把邊的兩個端點合二為一。原來與這兩個點鄰接的點，現在把邊連到合併後的節點去，把原來的點和邊刪除。

合併後可能會有平行邊，在鄰接矩陣裡記錄邊的數目。把形成的自環刪除。可以看到，合併前的兩個點與「外界」的連線邊數、合併後的點與「外界」的連線邊數（即合併點的度數），這兩者是一樣的。所以當合併至只剩兩個點時，相當於將原圖的點劃分成兩個集合。這兩個點之間的連邊數就是形成的割的邊數。

現在分析下演算法正確的概率。因為乙個圖可能有多個最小割，我們來計算演算法得到某個特定最小割的概率。設最小割交叉邊的數目為c。那麼圖中每個點的度數至少為c（因為如果某個點的度數小於c，可以把這個點和其他點分開，形成的最小割邊數小於c，與假設矛盾。注意這個結論在合併點過程中仍然成立，因為前面說過了，合併得到的點的度數等於它代表的集合與外界的連線數）。如果圖有n個節點，那麼至少有n*c/2條邊。我們不能選特定的c條邊，否則就不是特定的割了。不選這c條邊的概率是（1-c/邊數）>= (1-2/n). 每合併一次，點的數目減一。那麼在整個過程中都不選那c條邊的概率是》=(1-2/n)*(1-2/(n-1))*...*(1-2/3) = 2/(n*(n-1)) >= 1/n2.

這個正確概率看著好像不很高。不過我們執行演算法多次。在每次執行中，沒得到特定最小割的概率<=1-1/n2。那麼執行m次沒得到的概率<=(1-1/n2)m。由於1-1/n2

<=e-1/n^2(因為1+x<=ex)，當m=n2，失敗的概率小於1/e。當m=n2ln(n)時，失敗的概率更是不到1/n，考慮到一般圖的節點數量，可以忽略不計。

插播：n個節點的圖不同最小割的數量最多多少？

答案：n*(n-1)/2. 前面我們看到karger演算法找到特定最小割的概率》=2/(n*(n-1)). 設有r個最小割。因為得到這些割是互斥事件，所以得到任意乙個最小割的概率》=2/(n*(n-1))*r. 因為概率最大為1，r最大為n*(n-1)/2。這是可以取到的。比如n個點的環，任意刪除兩條邊都得到乙個獨特的最小割(最小割邊數為2)，因此為n*(n-1)/2.

1.雖然這個演算法的描述簡潔易懂，但要實現好還是讓我頗費思量。先來拋個磚，給個o(n2)的實現，n是結點數。這個實現按照演算法的字面描述，對於隨機選定的一條邊的兩個結點v1,v2(v1

#include using
namespace
std;
class
graph
;int
graph::getnodenum()
void graph::getedgeends(int edgeindex, int& row, int&col)
for(col=1;col<=n;col++)
}int
graph::initforcontract()
}else
int edgenum = 0
;    
for(int i=1; i<=n; i++)
edgenum +=deg[i];
}return
edgenum;
}int
graph::contract()
else
if(adjmatrix[v2][i])
}deg[v2] = 0
;    }
return edgenum/2;}
int graph::mincut(int
niter)
return
mincut;
}void parse(char str, vectorint> > &adjlist)
adjlist.push_back(lst);
}void buildgraph(char *fname, graph &g)
intmain()

view code

2.另外的方法是事先打亂邊的順序，然後遍歷邊，把邊的兩端點連起來（而不是刪邊了），直到只剩兩個連通分量為止，剩下的邊裡端點在不同連通分量的邊的數目就是割的大小。

查詢邊的端點是否處於不同的連通分量，（是的話）把兩個連通分量連起來可以用並查集（此時總連通分量數減一）。

#include using
namespace
std;
class
unionfind
;void unionfind::makeset(int
n)int unionfind::find(int
x)void unionfind::union(int x, int
y)        componentnum--;
}}class graph:public
unionfind
;void
graph::makeedgelist()
}}int
graph::getnodenum()
intgraph::contract()
int cut = 0
;    
for(; i)
return
cut;
}int graph::mincut(int
niter)
return
mincut;
}void parse(char str, vectorint> > &adjlist)
adjlist.push_back(lst);
}void buildgraph(char *fname, graph &g)
intmain()

view code

3.我們來看看karger**裡的方法。我們需要確定的其實是使得只剩兩個連通分量的邊序列的最短字首。知道了這個，在剩下的邊裡求交叉邊的數量就容易了。注意到遍歷邊的過程中，連通分量的數目是單調減少的，因此我們可以二分。然而每次需要o(m)（m是邊數）來確定連通分量數目（用bfs之類），總複雜度o(m*log(m))，不夠好。

另一種方法是先選前m/2條邊，如果形成了乙個連通分量，那麼多了，考慮前m/4。如果形成多於兩個，再考慮後m/2的前一半。如果剛好是兩個，則可以直接計算割了。其實也是二分，關鍵是在已有的圖上加邊看連通分量的變化，還沒想好怎麼寫。

Karger演算法求最小割

最小割（Stoer Wagner演算法）

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