最小度限制生成樹

在一棵生成樹中，某個頂點v0的度數<=k稱作度限制條件，把滿足這一條件的生成樹稱為度限制生成樹，把權值和最小的度限制生成樹稱為最小度限制生成樹。

如果撇開度限制條件，那麼就是最小生成樹問題。首先，避開度限制條件。假如把最小度限制生成樹中所有與v0相關的邊都刪掉，得到m個連通分量。

具體步驟：

1. 如果k

2. 求最小m度限制生成樹。

3. 有最小m度限制生成樹求最小m+1度限制生成樹。

4. 當dt(v0)==k時，停止迭代。

說明：

求最小m度限制生成樹時：去掉圖中和v0相連的所有邊，得到m個連通分量，而這m個連通分量必須通過v0來連線。所以在生成樹中，dt(v0)>=m，如果k

由最小m度限制生成樹得到最小m+1度限制生成樹：對於和v0相鄰的點v，新增後一定會形成乙個環，找到環上權值最大的邊，用(v0,v)替換掉。列舉所有和v0相鄰的點，找到權值增加最小的一次替換，就可以得到最小m+1度限制生成樹。每次列舉的時候都需要找換上不和v0相連的最大邊，需要用到動態規劃：設best[v]是v0到v路勁上不與v0相連的最大邊，定義father[v]是v的父節點，狀態轉移方程為：

best[v] = max

邊界條件為best[v0]=inf,best[v']=inf((v0,v')是圖中的邊)。

模型與例題：

1. 考慮下面這個問題：

問怎樣合理的分配衛星和鋪設線路，使得任意兩個村莊都能直接或間接通訊，並且鋪設線路最短，求最短的線路是多少。n,k<=5000

解：如果不設衛星，就相當於求原圖的最小生成樹。如何改造該模型？增設乙個點v0，和所有村莊相連，權值為0，該圖的乙個最小生成樹就對應著一種方案，鋪設路線長度為對應的生成樹的權值之和，生成樹中與v0相關的村莊為安放衛星的村莊。這樣問題轉化為求dt(v0)==k的最小生成樹問題了。

2. poj1639

題意：一些人準備去公園開party，每個人可以開車直接去或者把車開到a家，然後做a的車到公園，每輛車可以座無數個人，但公園最多只能停放k輛車。問所有人開車的路程之和最短為多少。

解：把公園點v0看成度限制條件，求所有<=k的度限制生成樹，取最小值即可。

/*
最小度限制生成樹
*/#include #include #include using namespace std;
const int inf = 0x7fffffff;
const int n = 30;
int n,s,k;      //節點總數 有度數限制的點v0 度數限制為k
int mst;     //最終結果：最小k限制度生成樹
int mp[n][n];   //圖
int father[n];  //節點n的父節點
bool edge[n][n];  //判斷邊(i,j)是否加入到生成樹中
int best[n];    //從v0到v路徑上與v0無關的最大權邊的點序號
char str[n][12];
int dis[n];
bool mark[n];
bool vis[n];
int pre[n];
void dfs(int now)
}}int prim(int s)     //從點s開始的最小生成樹
while(true)
}if(min == inf) break;
mark[key] = true;
vis[key] = true;
edge[pre[key]][key] = edge[key][pre[key]] = true;
sum += min;
for(i = 0; i < n; i++)}}
min = inf;
int root = -1;      //找到與v0相關聯的點的最小邊
for(i = 0; i < n; i++)
}mark[root] = false;
dfs(root);          // 將樹拉成有根樹
father[root] = s;
return sum + min;
}int best(int x)     //記憶化搜尋s到x的最大權值的邊
int find(char *c)
return -1;
}void input()
int y = find(s2);
if(y == -1)
if(w < mp[x][y])                //可能有重邊
mp[x][y] = mp[y][x] = w;
}scanf("%d",&k);
}void solve()
}int change; // 回路上權值最大的邊，用於交換
int ax,bx,tmp;
for(i = m+1; i <= k && i < n; i++)
int minadd = inf; // 交換邊的最小差值
for(j = 0; j < n; j++)}}
if (minadd >= 0) break;     //用於度數不大於k的限制，如果k限制，就不用break了
mst += minadd;
ax = best[change];
bx = father[ax];
mp[ax][bx] = mp[bx][ax] = inf;
father[ax] = bx = s;            // 改變生成樹，將點ax直接指向源點s
mp[ax][s] = mp[s][ax] = mp[change][s];
mp[s][change] = mp[change][s] = inf;
}}int main()

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ACM 最小度限制生成樹

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