[ 克萊茵瓶＆莫比烏斯帶]
在1882 年，著名數學家菲立克斯·克萊因(felix klein) 發現了後來以他的名字命名的著名「瓶子」。這是乙個象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有乙個面。在上我們看到，克萊因瓶的確就象是乙個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到乙個輪胎面。
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我們可以說乙個球有兩個面——外面和內面，如果乙隻螞蟻在乙個球的外表面上爬行，那麼如果它不在球面上咬乙個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是一樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，乙隻爬在「瓶外」的螞蟻，可以輕鬆地通過瓶頸而爬到「瓶內」去——事實上克萊因瓶並無內外之分！在數學上，我們稱克萊因瓶是乙個不可定向的二維緊緻流型，而球面或輪胎面是可定向的二維緊緻流型。
如果我們觀察克萊因瓶的，有一點似乎令人困惑——克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點佔據了三維空間中的同乙個位置。但是事實卻非如此。事實是：克萊因瓶是乙個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面，如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們只好將就點，只好把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上，克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，並不穿過瓶壁。這是怎麼回事呢？
我們用扭節來打比方。看上面這個圖形，如果我們把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線，它並不和自己相交，而且是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時，只好將就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，這是乙個事實上處於四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好象最高明的畫家，在紙上畫扭
結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。
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從拓撲學角度上看，克萊因瓶可以定義為矩陣[0 ，1] ×[0 ，1] ，邊定義為(0 ，y) ~ (1 ，y) 條件0 ≤y ≤1 和(x ，0) ~ (1-x ，1) 條件0 ≤x ≤1 可以用圖表示為
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就像麥比烏斯帶（又名：莫比烏斯帶）一樣，克萊因瓶沒有定向性。但是與之不同的是，克萊因瓶是乙個閉合的曲面，也就是說它沒有邊界。麥比烏斯帶可以在三維的歐幾里德空間中嵌入，克萊因瓶只能適用於四維空間。
克萊因瓶與麥比烏斯帶 大家大概都知道麥比烏斯帶。你可以把一條紙帶的一段扭180 度，再和另一端粘起來來得到一條麥比烏斯帶的模型。這也是乙個只有一麥比烏斯帶、乙個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它只有一條邊）。如果我們把兩條麥比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來，你就得到了乙個克萊因瓶（當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把乙個克萊因瓶適當地剪開來，我們就能得到兩條麥比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的「８字形」克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同乙個曲面——克萊因瓶。
實際上，可以說克萊因瓶是乙個三度的麥比烏斯帶。我們知道，在平面上畫乙個圓，再在圓內放一樣東西，假如在二度空間中將它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就將其拿出來，放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中，就是乙個「二維克萊因瓶」，即麥比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再設想一下，在我們的三度空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到乙個克萊因瓶。
莫比烏斯函式與莫比烏斯反演
1.1 莫比烏斯函式 莫比烏斯函式可以看做乙個輔助函式，它在莫比烏斯反演公式中用到。1.2 莫比烏斯反演 莫比烏斯反演公式是 根據和函式來求算數函式的乙個公式。1.3 算數函式 所有在正整數上運算的函式稱為算數函式。1.4 和函式 設 f 是算數函式，f 的和函式為n的所有約數的算數函式之和。1.5...
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演
首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...