線性規劃的定義和應用場景不用描述了，主要記一下跟單純形方法相關的東西，記下來，免得又要從大量資訊中篩取。一門學科，東西太多，先列點最本質的東西，有需要的話以後再深入點，加個標號（1），
極點這個概念在單純形方法裡是很重要的，那就多花點筆墨在上面，做點引申。
如果有最優解，關心的是凸集。 我們來看一下凸集的廣義的定義：
設集合s<=r(n維)，若存在x1，x2<=s, 0我們再提及乙個概念，凸包：集合t(t?)
非空凸集裡不在兩點連線線段中間的點稱為極值點，簡稱極點，當然這是不嚴謹的說法。
多邊形的定點，多面體的頂點，閉圓盤的邊界點都是極點。
多面體s=非空，則s必有極點。證明起來比較繁瑣，我也沒耐心消化下去了。
單純形方法的流程：
用單純形法求解線性規劃的前提是先將模型化為標準型。
max z = cx
[ax=b, x>=0]; 其中a(m*n)的秩為m，b>=0;
標準型 的特徵：線性規劃問題裡的max型，等式約束，非負約束 。
非標準型如何轉化為標準：
（1）min 型化為max 型：
min z = cx --->(加負號) max z『 = -cx（min 型化為max 型求解後，最優解不變，但最優值差負號。）
（2）不等式約束化為等式約束：加鬆弛變數
（ 3 ） 當模型中有某變數 xk 沒有非負要求， 稱為自由變數 , 則可令
xk = xk′ − xk′′, xk′ , xk′′ ≥ 0 ，化為標準型。
（4）右端項< 0 i b 時，只需將等式或不等式兩端同乘（-1） ，則等式或不等式右端項比
必大於零。
（5）對x ≤ 0 的情況，令x'= −x ，顯然， x'≥ 0
基矩陣與基變數
基矩陣(簡稱基) ：係數陣a 中的m 階可逆子陣，記為b；其餘部分稱為非基矩陣，記為n。
基向量：基b 中的列；其餘稱非基向量。
基變數：與基向量pj 對應的決策變數xj，記其組成的向量為xb；與非基向量對應的變數稱非基變數，記其組成的向量為xn。
當a中的基取定後，不妨設b表示a中的前n列,則可記a = (b , n ),相應的x=(xb, xn)',約束中的ax= b可表示為(b , n )(xb, xn)' = (b), 即xb = b "b - b "n xn,這裡用"表示求逆。
當取xn=0時，有xb= b"b, x=', x只是基本解，xb>=0,則x成為基本可行解。
極點的代數特徵：
給定非空集合s=， a<=r(m*n), rank(a)=m,則下面三個集合相等：
（1） s的基本可行解集
（2）. 那麼點x1 = x0 + d/2 * c/|c|
c'x1 = c'x0 + d/2 * |c|
> c'x0 ，矛盾。
其實是先有極點是最優值，再發現極點的代數形式，然後才有基本解的定義 ，雖然書本上是本末倒置的順序，
我們最終的問題是使目標方程值最大化或最小化。 怎麼判定什麼時候是極值？極點-基本可行解的形式是b"(逆矩陣)b, 如何在乙個基本可行解的基礎上改進至另乙個基本可行解，我們想到了如果從乙個b輕鬆轉換到另乙個b1。b畢竟是a的子矩陣而已，那麼問題就轉換成如果a(m*n)的列向量如果能用b來表示就方便了，那麼就可以輕易的替換。
這裡我們定義與aj(j=1,2...n)相關的列向量yj,當然yj是個m維的向量。 aj = byj, 那麼就可以把b看成是係數矩陣，做線性變換，把yj轉換成aj.
為了不讓複雜性掩蓋真實的動機與道理，我們每次替換b中的乙個列向量，並且認為當yr中有分量yrj != 0的時候，那麼br就可以被aj所替代，不為零的時候表明aj與b線性相關，其實b中任一列都可以被替換(這裡的假設條件是a的秩是m，即沒有多餘的條件，其實也就意味著線性變換是非退化(可逆)的)，此時br可以替換成b中其餘列與aj的線性表示，如br = (aj-k1b1-k2b2..)/br, 線性無關的就變成(b1, b2.., aj-k1b1-k2b2.., bm),線性變換又不改變向量間的線性關係，所以aj替換br後組成的新向量組同樣也是乙個基。要保證新基生成的基本解仍然是可行解，我們選擇的時候要保證yrj>0,且xr/yrj = min i=1..m, 求最小值的集合中yij>0,當然yij可以小於0. 具體的推導就不列了。大家有興趣可以去這個** 去看看，裡面的pdf比較起來講的比較詳細。
回到判斷極值的問題，新可行解xb1與上乙個可行解xb2的目標方程差為
xr*(cj-zj) / yrj, 這裡zj = cb' * b'' * aj
如果cj - zj >0,就表明新解更優，非退化解，xr在基b時對應的肯定是非零的。
如果對所有的cj - zj>=0,那麼一定就達到最優解了，
線性規劃（DP）學習（1）
線性規劃 dp 加粗樣式 參考部落格 dp問題三大性質 最優子結構 如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結構性質 即滿足最優化原理 最優子結構性質為動態規劃演算法解決問題提供了重要線索。重疊子問題 子問題重疊性質是指在用遞迴演算法自頂向下對問題進行求解時，每次產生的...
UOJ 179 線性規劃 線性規劃
這是一道模板題。這個題現在標程掛了。哪位哥哥願意提供一下靠譜的標程呀？本題中你需要求解乙個標準型線性規劃 有 nn 個實數變數 x1,x2,xn x1,x2,xn 和 m m 條約束，其中第 i i 條約束形如 nj 1aijxj bi j 1naijxj bi。此外這 n n 個變數需要滿足非負性...
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