\[\max \ = \min \
\]來道例題：
洛谷p3337 [zjoi2013]防守戰線
列出式子：
\[\begin
& \mathrm \ \sum_i c_i y_i \\
& s.t. \ \forall i \in [1, n], \ \sum_ y_j \geq d_i \\
& \forall i \in [1, n], \ y_i \geq 0
\end
\]令 \(a^\intercal_ = [j \in [l_i, r_i]]\)，\(b = \begin c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end\)，\(c =\begin d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_n \end\)，於是對偶之後為：
\[\begin
& \mathrm \ \sum_i d_i x_i \\
& s.t. \ \forall i \in [1, n], \ \sum_ a_ x_j \geq c_i \\
& \forall i \in [1, n], \ x_i \geq 0
\end
\]同時 \(a\) 的列中有連續的 \(1\) 出現。
感覺很不錯，於是加上鬆弛變數：
\[\sum_ a_ x_j + y_i = c_i
\]差分後：
\[\sum_ x_j - \sum_ x_j + y_i - y_ = c_i - c_
\]移項得到：
\[\sum_ x_j + c_ + y_i = \sum_ x_j + c_i + y_
\]將等式看成乙個點的流量平衡，於是就有這樣的連邊方案：
於是上最大費用最大流即可，具體實現細節可以見**。
未完待續。。。
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