向量旋轉公式

在二維座標系中，乙個位置向量的旋轉公式可以由三角函式的幾何意義推出。

比如上圖所示是位置向量r逆時針旋轉角度b前後的情況。

在左圖中，我們有關係：

x0 = |r| * cosa       =>          cosa = x0 / |r|

y0 = |r| * sina

=>          sina

= y0 / |r|

在右圖中，我們有關係：

x1 = |r| * cos（a+b）

y1 = |r| * sin（a+b）

其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋轉角b後得到的點，也就是位置向量r最後指向的點。我們展開cos（a+b）和sin（a+b），得到：

x1 = |r| * （cosacosb - sina

sinb）

y1 = |r| * （sinacosb + cosasinb）

現在把  cosa = x0 / |r| 和 sina = y0 / |r|  代入上面的式子，得到：

x1 = |r| *

（x0 * cosb / |r| - y0 * sinb / |r|）=>  x1 = x0 * cosb - y0 * sinb

y1 = |r| *

（y0 * cosb / |r| + x0 * sinb / |r|）=>y1 = x0 * sinb + y0 * cosb

這樣我們就得到了二維座標下向量圍繞圓點的逆時針旋轉公式。順時針旋轉就把角度變為負：

x1 = x0 * cos（-b） - y0 * sin（-b） =>  x1 = x0 * cosb + y0 * sinb

y1 = x0 * sin（-b） + y0 * cos（-b）=>  y1 = -x0 * sinb + y0 * cosb

現在我要把這個旋轉公式寫成矩陣的形式，有乙個概念我簡單提一下，平面或空間裡的每個線性變換（這裡就是旋轉變換）都對應乙個矩陣，叫做變換矩陣。對乙個點實施線性變換就是通過乘上該線性變換的矩陣完成的。好了，打住，不然就跑題了。

所以二維旋轉變換矩陣就是：

[cosa  sina]          [cosa –sina]                                          

[-sina cosa]

或者  [sina cosa]

我們對向量進行旋轉變換可以通過矩陣完成，比如我要向量（x， y）繞原點逆時針旋轉角度a：

[x, y] x  [cosa  sina] = [x*cosa-y*sina  x*sina+y*cosa]

[-sina cosa]

旋轉後的向量為：[x*cosa-y*sina  x*sina+y*cosa]

ie 濾鏡 向量旋轉公式

在二維座標系中，乙個位置向量的旋轉公式可以由三角函式的幾何意義推出。向左轉 向右轉 比如上圖所示是位置向量r逆時針旋轉角度b前後的情況。在左圖中，我們有關係 x0 r cosa cosa x0 r y0 r sina sina y0 r 在右圖中，我們有關係 x1 r cos a b y1 r si...

二維向量旋轉公式

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