真詳解動態規劃 DAG

dag: directed ayclic graph // 有向無環圖

劉汝佳：dag是動態規劃的基礎，很多問題都可以轉化成dag上的最短、最長或路徑計數問題

如nyoj 16

巢狀矩形問題，

描述有n個矩形，每個矩形可以用a,b來描述，表示長和寬。矩形x(a,b)可以巢狀在矩形y(c,d)中當且僅當a輸入

第一行是乙個正數n(0輸出

每組測試資料都輸出乙個數，表示最多符合條件的矩形數目，每組輸出佔一行

樣例輸入

1 101 2 2 45 8 6 10 7 93 1 5 812 10 9 72 2

樣例輸出

分析：學過離散數學都知道二元關係，顯然矩形巢狀關係可以看作乙個二元關係，而二元關係可以用圖來表示。而且，由於a解答:

1.儲存矩形：用結構體儲存

2.儲存二元關係圖：用二維陣列儲存，配對遍歷（n*n)所有矩形,利用條件：a3.定義函式dis(t):從t出發得到的最長路線，則所求為：最大的dis(i）。因此必須將所有的dis(i)給計算出來,進行打擂台求最大值。

4.求所有的dis(i):根據動態規劃的思想：將問題規模化小，轉移狀態，將問題規模縮小。從第i點開始考慮，面對每乙個與之相鄰的點 j 都可以選擇走和不走。

4-1.走：由於從第i點只能走到與之相鄰的點j，如果將第i點移到第j點，要計算dis(i) 則需要計算dis(j), 因為dis(i) = dis(j)+1(為什麼該等式成立請看：從 i 點考慮，dis（i）為從第 i點出發的最長長度，而第i點與第j點連通，所以第 i 點的最大長度dis（i）顯然可以加上dis[j]（再加上i與 j之間的距離一般設定為1即可）還不懂的話：將 i 點看作 j 點的先導，打個比方：要到打飯視窗必須先到食堂門口，所以要求到打飯視窗的距離，只要求到食堂門口的距離再加上食堂門口到打飯視窗的距離（將食堂門口和打飯視窗看作兩個連通的點，這個距離就是我們設定的權重一般設定為1就可以對應題目所求數量））

就是要你懂_**:

（該圖為簡化後的二元關係圖圖中的圓圈表示二元關係圖中的點，有箭頭的線表示有向連通，距離是無論方向的，由圖很容易理解為什麼會存在dis[i] = dis[j] + 1這種情況）

4-2.不走：由於狀態沒有改變，dis(i)的值不發生變化。

5.得出動態轉移方程：dis(i) = max(dis(i),dis(j)+1), (i,j)∈e (e為邊集）

資料結構：

矩形：結構體陣列

二元關係圖：二維陣列

dis( ): 一維陣列

**：

#include#include#define max 500
#define max(a,b) a>b?a:b
typedef struct rectangle
rectangle;
int graph[max][max];//圖
rectangle rect[max];//矩形
int dis[max];//dis()
int n;
int dynamic_program(int i);
int dynamic_program(int i)
printf("%d\n",ans);
}return 0;
}

附上二元關係圖的二維陣列方便讀者驗證（連通則為1，否則為0.）

0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

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動態規劃 DAG模型

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