數學建模之非線性規劃

如果目標函式或約束條件中包含非線性函式，就稱這種規劃問題為非線性規劃問 題。

非線性規劃目前還沒有適於各種問題的一般演算法，各個方法都有自己特定的適用範圍。

一般形式:

matlab 中非線性規劃的數學模型寫成以下形式

其中 f (x)是標量函式，a,b,aeq,beq是相應維數的矩陣和向量,c(x),ceq是非線性向量函式。

matlab中的命令是 [x,fval]=fmincon(fun,x0,a,b,aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

例:求下列非線性規劃

帶有約束條件的極值問題稱為約束極值問題，也叫規劃問題。

3.1 二次規劃

若某非線性規劃的目標函式為自變數x的二次函式，約束條件又全是線性的，就稱 這種規劃為二次規劃。

matlab 中二次規劃的數學模型可表述如下：

matlab 中求解二次規劃的命令是

[x,fval]=quadprog(h,f,a,b,aeq,beq,lb,ub,x0,options)

（具體細節可以參看在 matlab 指令中執行 help quadprog 後的幫助）。

例:求解二次規劃

求得x1=1.9500,x2=1.0500,minf(x)=-11.0250

3.2 罰函式法

利用罰函式法，可將非線性規劃問題的求解，轉化為求解一系列無約束極值問題， 因而也稱這種方法為序列無約束小化技術，簡記為 sumt .

罰函式法求解非線性規劃問題的思想是，利用問題中的約束函式作出適當的罰函 數，由此構造出帶引數的增廣目標函式，把問題轉化為無約束非線性規劃問題。主要有兩種形式，一種叫外罰函式法，另一種叫內罰函式法，下面介紹外罰函式法。

例:求下列非線性規劃

(1)定義增廣目標函式,編寫 m 檔案 test.m

function g=test1(x); 

m=50000; 
f=x(1)^2
+x(2)^2
+8; 
g=f-m
*min(x(1),0)-m
*min(x(2),0)-m
*min(x(1)^2
-x(2),0)+m*abs(-x(1)-x(2)^2
+2);

function

g=test2
(x); 
m=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-m*sum(min([x';zeros(1,2)]))-m*min(x(1)^2-x(2),0)+m*abs(-x(1)-x(2)^2+2); 

function g=test3(x); 

m=50000; 
f=x(1)^2
+x(2)^2
+8; 
g=f-m
*min(min(x),0)-m
*min(x(1)^2
-x(2),0)+m*(-x(1)-x(2)^2
+2)^2;

[x,y]=fminunc('test3',rand(2,1))

注:(1)如果非線性規劃問題要求實時演算法,則可以使用罰函式方法,但計算精度較低;

(2)如果非線性規劃問題不要求實時演算法,但要求精度高,則可以使用lingo軟體程式設計求解或使用matlab的fmincon命令

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