出棧序列統計

棧是常用的一種資料結構，有n個元素在棧頂端一側等待進棧，棧頂端另一側是出棧序列。你已經知道棧的操作有兩種：push和pop，前者是將乙個元素進棧，後者是將棧頂元素彈出。現在要使用這兩種操作，由乙個操作序列可以得到一系列的輸出序列。請你程式設計求出對於給定的n，計算並輸出由運算元序列1，2，…，n，經過一系列操作可能得到的輸出序列總數。

乙個整數n（1<=n<=15）

乙個整數，即可能輸出序列的總數目。

棧是一種常見的資料結構，有許多關於棧的問題，其中之一就是統計元素可能的出棧序列。具體說，就是給定n個元素，依次通過乙個棧，求可能的出棧序列的個數。

如果我們用直接模擬的方法，當n較大時會很費時間；另一種方法是利用組合數學求出棧序列個數，得到公式

看資料結構，看到棧的時候，發現1個元素進棧，有1種出棧順序；2個元素進棧，有2種出棧順序；3個元素進棧，有5種出棧順序，那麼乙個很自然地問題就是n個元素進棧，共有多少種出棧順序？說來慚愧，以前學資料結構的時候竟然沒有考慮過這個問題。最近在看動態規劃，所以「子問題」這3個字一直在我腦中徘徊，於是解決這個問題的時候我也是用類似「子問題」的方法，說白了就是遞推公式。

我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出： f(1) = 1 //即 1

f(2) = 2 //即 12、21

f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231

然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。

分析：1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；

2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有乙個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)，根據乘法原理，一共的順序個數為f(1) * f(2)；

3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即f(3)；

結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即

但這只是乙個遞推公式（若程式設計實現，需要維護乙個一維陣列，時間複雜度為o(n^2)）。怎麼把它轉化為通項公式呢，複雜度僅為o(1)?

於是上網搜尋一下，原來真的有這麼乙個公式：c(2n,n)/(n+1) （c(2n,n)表示2n裡取n），並且有個名字叫catalan數。附上wiki的鏈結，寫得太詳細了：

注意資料溢位問題。適當在做乘法的過程中做下除法

#includeusing namespace std;
long long int f(int n)
long long int fs(int a,int b)
int main()
{ 	int n;
while(~scanf("%d",&n))
{ 		long long int s1,s2,s;
s1=fs(2*n,n+1)/f(n);
s2=fs(2*n,n+2)/f(n-1) ;
s=s1-s2;
cout<

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