Python實現求質數演算法

質數也就是大於1的整數中，除了1和它本身以外不能被其他整數整除的數，也叫素數。

問題：現給定乙個任意整型引數 n（n>1），求出小於n 的質數的個數。這裡主要介紹五種演算法，前三種思路一致，主要是效率的差異；第五種採用了埃拉託斯特尼篩法進行計算。

例如：輸入 10，輸出：4（2,3,5,7）；輸入：20，輸出： 8（2,3,5,7,11,13,17,19）；

第一種演算法：

針對小於n的每個正整數x，我們可以遍歷從2到x-1遍歷去試除，當出現乙個數能被整除，那這個數就不是質數；當然這種方法也是最容易想到的方法，但效率也是最低的方法；

**如下：

class calculator(object):
def prime(self, n):
m = 0
for i in range(2, n):
j = 2
for j in range(2, i-1):
if i % j == 0:
break
else:
m += 1
return m

第二種演算法：

我們可以遍歷從2到x/2的數去試除，這樣子相對於第一種方法節省了近一半的時間;

**如下：

class calculator(object):
def prime(self, n):
m = 0
for i in range(2, n):
j = 2
for j in range(2, int(i/2)+1):
if i % j == 0:
break
else:
m += 1
return m

第三種演算法：

我們可以針對第二種演算法進一步優化，遍歷從2到√x；

因為數學的因數都是成對出現的，如果出現乙個大於√x的因數，必然有乙個小於√x的因數存在，因此我們遍歷到√x就可以判定乙個數是不是質數；例如：16, 1*16， 2*8， 4*4；

**如下：

class calculator(object):
def prime(self, n):
m = 0
for i in range(2, n):
j = 2
for j in range(2, int(i**0.5)+1):
if i % j == 0:
break
else:
m += 1
return m

第四種演算法：

對於任意乙個大於3的合數（除了1和自身外，還能被其他整數整除的數），我們都可以將其拆分成至少包含乙個質數的因子相乘；例如：20=2*10（2是質數）；45=5*9；利用此點，我們可以採用遍歷小於這個數的所有質數來確認這個數是不是質數。

**如下：

class calculator(object):
def prime(self, n):
if n <= 2:
return 0
else:
prime_list = list()
for x in range(3, n):
y = false  
for y in prime_list:
if x % y == 0: # 對小於n的x進行遍歷，當某個數整除為0時，不執行新增列表操作
y = false
break
else:
y = true
if y is true:
return len(prime_list)

第五種演算法：

埃拉託斯特尼篩法；使用的原理是從2開始，將每個素數的各個倍數，標記成合數。乙個素數的各個倍數，是乙個差為此素數本身的等差數列。此為這個篩法和試除法不同的關鍵之處，後者是以素數來測試每個待測數能否被整除。(摘自維基百科)

具體的實現方式：

先留下第乙個素數2，將所有2的倍數的合數全部剔除；下乙個素數3，將3的倍數的所有合數全部剔除；接著用5進行篩選剔除；當所要使用的素數的平方大於設定值時，停止篩選，則剩下的所有數均為素數。

例如：求出小於120的所有素數，依次使用2,3,5,7進行篩選，當到11時，11*11>120,停止篩選，剩餘數即為質數。

class calculator(object):
def prime(self, n):
if n <= 2:
return 0
is_right = [true] * n
is_right[1] = false
for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
if is_right[i]:
for j in range(i * i, n, i):
is_right[j] = false
m = 0
for x in range(2, n):
if is_right[x]:
m += 1
return m

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