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】求10000
以內的所有素數。
素數是除了
1和它本身之外再不能被其他數整除的自然數。由於找不到乙個通項公式來表示所有的素數，所以對於數學家來說，
素數一直是乙個未解之謎。像著名的
哥德**猜想、孿生素數猜想，幾百年來不知吸引了世界上多少優秀的數學家。儘管他們苦心鑽研，嘔心瀝血，但至今仍然未見分曉。
自從有了計算機之後，人們借助於計算機的威力，已經找到了
2216091
以內的所有素數。
求素數的方法有很多種，最簡單的方法是根據素數的定義來求。對於乙個自然數
n，用大於1小於
n的各個自然數都去除一下
n，如果都除不盡，則
n為素數，否則
n為合數。
但是，如果用素數定義的方法來編制電腦程式，它的效率一定是非常低的，其中有許多地方都值得改進。
第一，對於乙個自然數
n，只要能被乙個非
1非自身的數整除，它就肯定不是素數，所以不
必再用其他的數去除。
第二，對於
n來說，只需用小於
n的素數去除就可以了。
例如，如果n能被
15整除，實際上就能被3和
5整除，如果
n不能被3和
5整除，那麼
n也決不會被
15整除。
第三，對於
n來說，不必用從2到
n一1的所有素數去除，只需用小於等於
[w1]
√n(根號
n)的所有素數去除就可以了。
這一點可以用反證法來證明：如果n
是合數，則一定存在大於1小於
n的整數d1和
d2，使得
n=d1×d2。如果
d1和d2均大於
√n，則有：n＝
d1×d2>√n×√n＝n
。而這是不可能的，所以，d1和
d2中必有乙個小於或等於√n。
基於上述分析，設計演算法如下：
(1)用2，
3，5，
7逐個試除
n的方法求出
100以內的所有素數。
(2)用
100以內的所有素數逐個試除的方法求出
10000
以內的素數。
首先，將2，
3，5，
7分別存放在
a[1]
、a[2]
、a[3]
、a[4]
中，以後每求出乙個素數，只要不大於
100，就依次存放在
a陣列中的乙個單元
中。當我們求
100—10000
之間的素數時，可依次用
a[1]
－a[2]
的素數去試除
n，這個範圍內的素數可以不儲存，直接列印。
【
2】用篩法求素數。
簡單介紹一下厄拉多塞篩法。厄拉多塞是一位古希臘數學家，他在尋找素數時，採用了一種與眾不同的方法：先將2－
n的各數寫在紙上：在2
的上面畫乙個圓圈，然後劃去
2的其他倍數；第乙個既未畫圈又沒有被劃去的數是
3，將它畫圈，再劃去
3的其他倍數；現在既未畫圈又沒有被劃去的第乙個數是5
，將它畫圈，並劃去
5的其他倍數
……依次類推，一直到所有小於或等於
n的各數都畫了圈或划去為止。這時，表中畫了圈的以及未劃去的那些數正好就是小於
n的素數。
這很像一面篩子，把滿足條件的數留下來，把不滿足條件的數篩掉。由於這種方法是厄拉多塞首先發明的，所以，後人就把這種方法稱作厄拉多塞篩法。
在計算機中，篩法可以用給陣列單元置零的方法來實現。具體來說就是：
首先開乙個陣列：
a[i]
，i=1，2
，3，…
，同時，令所有的陣列元素都等於下標
值，即a[i]=i，當i
不是素數時，令
a[i]=0
。當輸出結果時，只要判斷
a[i]
是否等於零即可，如果
a[i]=0
，則令i=i+1
，檢查下乙個
a[i]
。篩法是計算機程式設計中常用的演算法之一。
【3】用
6n±1
法求素數。
任何乙個自然數，總可以表示成為如下的形式之一：6n，
6n+1
，6n+2
，6n+3
，6n+4
，6n+5 (n=0，1
，2，…)
顯然，當
n≥1時，6n，
6n+2
，6n+3
，6n+4
都不是素數，只有形如
6n+1
和6n+5
的自然數有可能是素數。所以，除了2和
3之外，
所有的素數都可以表示成
6n±1
的形式(n
為自然數)。
根據上述分析，我們可以構造另一面篩子，只對形如
6 n±1
的自然數進行篩選，這樣就可以大大減少篩選的次數，從而進一步提高程式的執行效率和速度。
在程式上，我們可以用乙個二重迴圈實現這一點，外迴圈i按
3的倍數遞增，內迴圈j為
0－1的迴圈，則
2(i+j)-1
恰好就是形如
6n±1
的自然數。
求質數 素數 演算法思想
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