最小二乘和梯度下降區別
簡單總結
後記參考
最小二乘法則是一種統計學習優化技術，它的目標是最小化誤差平方之和來作為目標，從而找到最優模型，這個模型可以擬合（fit）觀察資料。
回歸學習最常用的損失函式是平方損失函式，在此情況下，回歸問題可以用著名的最小二乘法來解決。最小二乘法就是曲線擬合的一種解決方法。
最小二乘法的問題分為兩類：
如果是線性的則有閉式解(closed-form solution)，唯一解。理解為所有點都在某條線上，全擬合好了。
非線性的經常需要數值方法來求解。比如：隨機梯度下降或者牛頓法等。當然，隨機梯度下降也可以解決線性問題。
j (θ
)=∑i
=1m(
fθ(x
i)−y
i)2(1)
j(\theta)= \sum_^ (f_\theta(x_)-y_)^2 \tag
j(θ)=i
=1∑m
(fθ
(xi
)−y
i)2
(1)最小二乘法的目標就是最小化公式1。f則是模型（取自假設空間），y則是觀察值。
通俗來講，就是觀察值和擬合值(模型給出）之間的距離平方和最小化作為目標來優化。
思想就是把目標函式劃歸為矩陣運算問題，然後求導後等於0，從而得到極值。以線性回歸問題為例：
求解最小二乘的問題推導為如下：求解變數θ
\theta
θ,滿足
( xt
x)θ=
xty(2)
(x^t x)\theta = x^ty
(xtx)θ
=xty
(2)如果可逆，將得到：
θ =(
xtx)
−1xt
y\theta = (x^t x)^x^ty
θ=(xtx
)−1x
ty這是利用矩陣得到的最小二乘法的一種解法。
注意這是線性回歸的最小二乘法的求解結果，不是其他問題的，其他問題的假設函式有時候很複雜。比如下面的博文對線性回歸的推算挺好，但沒有說明求導的大前提條件：線性回歸，這容易把最小二乘法和最小二乘法的求解混在一起。
##數值方法隨機梯度下降
思路：對引數向量求導，使其梯度為0，然後得到引數變數的迭代更新公式。
θ j:
=θj−
α∗∂j
(θ)∂
(θj)
(3)\theta_j:=\theta_j - \alpha* \frac \tag
θj:=θ
j−α
∗∂(θ
j)∂
j(θ)
(3)
請參考：
##數值方法牛頓法
利用泰勒公式展開，利用梯度和海塞矩陣進行迭代下降。速度很快。
x k+
1=xk
−hk−
1gk(4)
x^=x^-h^_kg_ \tag
xk+1=x
k−hk
−1g
k(4
)變數以牛頓方法來下降。
牛頓方向定義為：
− hk
−1gk
-h^_kg_
−hk−1
gk請參考：
最小二乘看做是優化問題的話，那麼梯度下降是求解方法的一種。梯度下降是一種解決最優化問題的數值方法。最小二乘法則是乙個最優化問題。
數值方法的基本含義則是對乙個函式求極值，在無法直接求得解析解的情況下，通過求導為0的方法，找到迭代方向保證可以下降目標值，梯度方向或者牛頓方向等等。 逐步下降直到滿足一些工程要求則結束迭代。
最小二乘法是一種對於偏差程度的評估準則思想，由公式1給出。個人認為，應該稱之為：最小二乘準則。
公式1裡沒有給出f的值，也就是說假設空間。如果是線性回歸，也就是wx+b的形式，那麼公式2就是最小二乘法的解。所以大部分的博文都在此範疇討論。為何都用這個線性回歸直接說呢，其實最小二乘準則更適合線性回歸。應該稱之為狹義的最小二乘方法，是線性假設下的一種有閉式解的引數求解方法，最終結果為全域性最優。
梯度下降只是數值求解的具體操作，和最小二乘準則下面的最優化問題都可以用隨機梯度下降求解。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
data = np.array([[
1,6]
,[2,
5],[
3,7]
,[4,
10]])
m =len
(data)
x = np.array(
[np.ones(m)
, data[:,
0]])
.tprint
("x:"
, x)
y = np.array(data[:,
1]).reshape(-1
,1)print
("y:"
,y)w = np.linalg.solve(x.t.dot(x)
, x.t.dot(y)
)## 求解xw=y的值，w
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