動態規劃是運籌學的乙個分支，是求解決策過程最優化的數學方法，通常情況下應用於最優化問題，這類問題一般有很多個可行的解，每個解有乙個值，而我們希望從中找到最優的答案。
在電腦科學領域，應用動態規劃的思想解決的最基本的乙個問題就是：尋找有向無環圖（籬笆網路）當中兩個點之間的最短路徑（實際應用於地圖導航、語音識別、分詞、機器翻譯等等）。
下面舉乙個比較簡單的例子做說明：求s到e的最短路徑。如下圖（各點之間距離不相同）：
我們知道，要找到s到e之間最短路徑，最容易想到的方法就是窮舉法。也就是把所有可能的路徑都例舉出來。從s走向a層共有4種走法，從a層走向b層又有4種走法，從b層走向c層又有4種走法，然後c層走向e點只有一種選擇。所以最終我們窮舉出了4x4x4=64種可能。顯然，這種方法必定可行。但在實際的應用當中，對於數量極其龐大的結點數和邊數的圖，其計算複雜度也將會變得非常大，而計算效率也會隨之降低。
因此，這裡選擇使用一種基於動態規劃的方式來尋找最佳路徑。所謂動態規劃。其核心就是「動態」的概念，把大的問題細分為多個小的問題，基於每一步的結果再去尋找下一步的策略，通過每一步走過之後的區域性最優去尋找全域性最優。這樣解釋比較抽象，下面直接用回剛剛的例子說明。如下圖：
首先，我們假設s到e之間存在一條最短路徑（紅色），且這條路徑經過c2點，那麼我們便一定能夠確定從s到c2的64條（4x4x4=64）子路徑當中，該子路徑一定最短。（證明：反證法。如果s到c2之間存在一條更短的子路徑，那麼便可以用它來代替原先的路徑，而原先的路徑顯然就不是最短了，這與原假設自相矛盾）。
同理，我們也可以得出從s到b2點為兩點間最短子路徑的結論。這時候，真相便慢慢浮出水面：既然如此，我們計算從s點出發到點c2的最短路徑，是不是只要考慮從s出發到b層所有節點的最短路徑就可以了？答案是肯定的！因為，從s到e的「全域性最短」路徑必定經過在這些「區域性最短」子路徑。沒錯！這就是上面提及到的通過區域性最優的最優去尋找全域性最優，問題的規模被不斷縮小！
接下來，要揭曉答案了！繼續看下圖：
回顧之前的分析：我們計算從s起到c2點的最短路徑時候只需要考慮從s出發到b層所有節點的最短路徑，b層也如是。對b2來說，一共有4條路線可以到達，分別是a1→b2，a2→b2，a3→b2，a4→b2。我們需要做的就是把a2→b2這條最短路線保留，而其他3條刪除掉（因為根據以上的分析，它們不可能構成全程的最短路線）。ok，來到這裡，我們會發現乙個小「漏洞」，這段s→a2→b2→c2→e的路線只是我一廂情願的假設，最短路徑不一定是經過以上這些點。所以，我們要把每層的每個節點都考慮進來。
以下是具體的做法：step1：從點s出發。對於第一層的3個節點，算出它們的距離d（s,a1）,d（s,a2）,d（s,a3）,d（s,a4），因為只有一步，所以這些距離都是s到它們各自的最短距離。
step2：對於b層的所有節點（b1,b2,b3,b4），要計算出s到它們的最短距離。我們知道，對於特定的節點b2，從s到它的路徑可以經過a層的任何乙個節點（a1,a2,a3,a4）。對應的路徑長就是d（s,b2）=d（s,ai）+d（ai,b2）（其中i=1,2,3,4）。由於a層有4個節點（即i有4個取值），我們要一一計算，然後找到最小值。這樣，對於b層的每個節點，都需要進行4次運算，而b層有4個節點，所以共有4x4=16次運算。
step3：這一步是該演算法的核心。我們從step2計算得出的結果只保留4個最短路徑值（每個節點保留乙個）。那麼，若從b層走向c層來說，該步驟的基數已經不再是4x4，而是變成了4！也就是說，從b層到c層的最短路徑只需要基於b層得出的4個結果來計算。這種方法一直持續到最後乙個狀態，每一步計算的複雜度為相鄰兩層的計算複雜度為4x4乘積的正比！再通俗點說，連線這兩兩相鄰層的計算符合變成了「+」號，取代了原先的「x」號。用這種方法，只需進行4x4x2=32次計算！
其實上述的演算法就是著名的維特比演算法，事實上非常簡單！
若假設整個網格的寬度為d，網格長度為n，那麼若使用窮舉法整個最短路徑的演算法複雜度為o（dn），而使用這種演算法的計算複雜度為o（nd2）。試想一下，若d與n都非常大，使用維特比演算法的效率將會提高幾個數量級！
**實現（c語言版）：
同樣是實現從s到e的最短路徑。不過這次把剛剛的情況簡化了一下，原理是相同的。
#include#include#define x 9999
#define max 9999
int data[10][10];
int dist[10];//記錄最短路徑為多少
int path[10];//記錄最短路徑
int kmin(int,int);
void fpath(int a[10]);
int froute(int a[10]);
void main()
, ,,,
,,,,
,};
/*for (i=0;i<10;i++)
*/fpath(a);
printf("最短路徑大小為: %d\n",dist[9]);
m=froute(a);
for(i=m-1;i>=0;i--)
printf("最短路徑經過: %d\n",path[i]);
}void fpath(int a[10])}}
} return k;
}
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