關於為什麼引入補碼，反碼的原因

前言：隨著學習計算機知識的加深，許多地方都遇到原碼、反碼、補碼。很多關於計算機的書籍都介紹原碼、反碼、補碼的表示方法，但是為什麼要用到原碼、反碼、補碼卻沒詳細說。為什麼要使用？它們的原理是什麼呢?我搜尋了許多資料，也查詢了許多書籍，終於弄明白了這個問題，收集整理如下。

我們知道數值在計算機中表示形式為機器數(機器數的概念見我的另一篇日誌《計算機中的原碼、反碼和補碼》，計算機只能識別0和1，使用的是二進位制。而在日常生活中人們使用的是十進位制，並且我們用的數值有正負之分。於是在計算機中就用乙個數的最高位存放符號(0為正，1為負)。這就是機器數的原碼了。

有了數值的表示方法就可以對數進行算術運算，但是很快就發現用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確，而在加減運算的時候就出現了問題，如下：假設字長為8bits

(1) 10 - (1)10 = (1)10 + (-1)10 = (0)10

(0 0000001)原 + (1 0000001)原 = (1 0000010)原 = ( -2 )　顯然不正確。

因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的，於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上。對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算：

(1)10 - (1)10 = (1)10 + (-1)10 = (0)10

(0 0000001)反 + (1 1111110)反 = (1 1111111)反 = ( -0 )　有問題。

(1)10 - (2)10 = (1)10 + (-2)10 = (-1)10

(0 0000001)反 + (1 1111101)反 = (11111110)反 = (-1)　正確。

問題出現在(+0)和(-0)上，在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。（印度人首先將零作為標記並放入運算之中，包含有零號的印度數學和十進位制計數對人類文明的貢獻極大）。

於是就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一，而正數的補碼不變，正數的原碼反碼補碼是一樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0)，這個是人為規定的，所以補碼的表示範圍為：

(-128~0~127)共256個。

注意：(-128)沒有相對應的原碼和反碼， (-128) = (1 0000000) 補碼的加減運算如下：

(1)10 - (1)10 = (1)10 + (-1)10 = (0)10

(0 0000001)補 + (1 1111111)補 = (0 0000000)補 = ( 0 )　正確。

(1)10 - (2)10 = (1)10 + (-2)10 = (-1)10

(00000001)補 + (11111110)補 = (11111111)補 = (-1)　正確。

所以補碼的設計目的是：

⑴ 使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。補碼機器數中的符號位，並不是強加上去的，是資料本身的自然組成部分，可以正常地參與運算。

⑵ 使減法運算轉換為加法運算，進一步簡化計算機中運算器的線路設計。

所有這些轉換都是在計算機的最底層進行的，而在我們使用的彙編、c等其他高階語言中使用的都是原碼。

看了上面這些大家應該對原碼、反碼、補碼有了新的認識了吧！