尤拉函式：在數論中，對正整數n，尤拉函式是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。
先給出乙個結論：
設p是素數，
若p是x的約數，則e(x*p)=e(x)*p.
若p不是x的約數，則e(x*p)=e(x)e(p)=e(x)(p-1).
證明如下：
e(x)表示比x小的且與x互質的正整數的個數。
*若p是素數，e(p)=p-1。
*e(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)
證：令n=p^k,小於n的正整數數共有n-1即(p^k-1)個,其中與p不質的數共[p^(k-1)-1]個(分別為1*p,2*p,3*p…p(p^(k-1)-1))。
所以e(p^k)=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1).得證。
*若ab互質，則e(a*b)=e(a)*e(b)，尤拉函式是積性函式.
對任意數n都可以唯一分解成n=p1^a1*p2^a2*p3^a3…*pn^an(pi為素數).
則e(n)=e(p1^a1)e(p2^a2)*e(p3^a3)…*e(pn^an)
=(p1-1)p1^(a1-1)(p2-1)p2^(a2-1)…*(pn-1)*pn^(an-1)
=(p1^a1*p2^a2*p3^a3*…pn^an)[(p1-1)(p2-1)(p3-1)…(pn-1)]/(p1*p2*p3*…*pn)
=n*(1-1/p1)(1-1/p2)…*(1-1/pn)
* e(p^k) =(p-1)*p^(k-1)=(p-1)*p^(k-2)*p
e(p^(k-1))=(p-1)*p^(k-2)
->當k>1時，e(p^k)=e(p*p^(k-1))=e(p^(k-1))*p.
(當k=1時，e(p)=p-1.)
由上式: 設p是素數，
若p是x的約數，則e(x*p)=e(x)*p.
若p不是x的約數，則e(x*p)=e(x)e(p)=e(x)(p-1). 證明結束。
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void get_phi()///篩法求尤拉函式
for(int j=0; jif(i*p[j] > maxn)
break;
flag[i*p[j]] = false;///素數的倍數，所以i*p[j]不是素數
if(i%p[j] == 0)///性質：i mod p == 0, 那麼 phi(i * p) == p * phi(i)
else
phi[i*p[j]] = (p[j]-1) * phi[i];///i mod p != 0, 那麼 phi(i * p) == phi(i) * (p-1)
} }
}
線性篩求尤拉函式
蒟蒻要開始打數論模板了。尤拉函式 小於n且與 n互素的數個數，記為 n 它有這樣幾個優越的性質 1.phi p p 1 因為素數p除了1以外的因子只有p，所以與 p 互素的個數是 p 1個 2.phi p k p k p k 1 p 1 p k 1 證明 令n p k,小於 n 的正整數共有 p k...
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