線性篩求尤拉函式

蒟蒻要開始打數論模板了。

尤拉函式：小於n且與

它有這樣幾個優越的性質：

**

1.  phi(p) == p-1 因為素數p除了1以外的因子只有p，所以與 p 互素的個數是 p - 1個

2. phi(p^k) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)

證明：令n == p^k,小於 n 的正整數共有 p^k-1 個,其中與 p 不互素的個數共 p^(k-1)-1 個，它們是 1*p,2*p,3*p ... (p^(k-1)-1)*p

所以phi(p^k) == (p^k-1) - (p^(k-1)-1) == p^k - p^(k-1) == (p-1) * p^(k-1)。

3. 如果i mod p == 0, 那麼 phi(i * p) == p * phi(i) （證明略）

舉個例子：

假設 p = 3,i = 6,p * i = 18 = 2 * 3^2;

phi(3 * 6) == 18*(1-1/2)*(1-1/3) = 6

p * phi(i) = 3 * phi(6) = 3 * 6 * (1-1/2) *  (1-1/3) = 6 = phi(i * p) 正確

4. 如果i mod p != 0, 那麼 phi(i * p) == phi(i) * (p-1) 

證明：i mod p 不為0且p為質數, 所以i與p互質, 那麼根據積性函式的性質 phi(i * p) == phi(i) * phi(p) 其中phi(p) == p-1

所以 phi(i * p) == phi(i) * (p-1).

再舉個例子：

假設i = 4, p = 3, i * p = 3 * 4 = 12

phi(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3) = 4

phi(i) * (p-1) = phi(4) * (3-1) = 4 * (1-1/2) * 2 = 4 = phi(i * p)正確

#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#includeusing namespace std;

#define n 100001
typedef long long ll;
char xb[1<<15],*xt=xb,*xs=xb;
//#define getchar() (xs==xt&&(xt=(xs=xb)+fread(xb,1,1<<15,stdin),xs==xt)?0:*xs++)
inline int read()
while(ch<='9'&&ch>='0')
return f*x;
}bool nop[n*11];
ll phi[n*11],pri[n];
int size;
void getprime(int lim)
else phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);}}
}int main()

線性篩質數，線性求尤拉

本篇前半部分講線性篩質數，也叫尤拉篩，後半篇講解線性求尤拉函式。我們有一種篩質數的辦法，就是列舉每個質數，然後把這個質數的倍數都篩掉，這個做法比較簡單，在這裡不做過多介紹。尤拉篩就是在這個方法的基礎上，使得每個合數只會被它最小的那個質因子篩掉，保證了複雜度是線性的 memset isprime,1,...

線性篩尤拉函式

在數論，對正整數n，尤拉函式是小於n的正整數中與n互質的數的數目，用 varphi n 表示。其中 p 1,p 2 p n 為 x 的所有質因數，x 是不為0的整數。varphi 1 1 當正整數p為質數時 varphi n n 1 尤拉函式是積性函式，當a與b互質時，滿足 varphi a tim...

線性篩求尤拉函式的證明

若 i 為質數，則 varphi i i 1 若 p j mid i 則 varphi i times p j varphi i times p j 若 p i nmid i 則 varphi i times p j varphi i times varphi j varphi i times p ...