1.問題描述
輸入：x = (x1,x2,...,xn) , y = (y1,y2, ... ,ym)
輸出：z = (z1,z2, ... , zk)為x與y的最長公共子串行
2.演算法分析
一般用動態規劃求解，最重要的就是抓住問題特點來優化子結構。現在分析該問題的特點：如果xn與ym字元相同，那麼lcs_xnym的解就等於lcs_xn-1ym-1的解加上xn(或者ym)；如果xn與ym字元不同，那麼lcs_xnym的解可在lcs_xn-1ym和lcs_xnym-1兩者之間求最大值。
初始化問題，只需要將lcs_x0yj ( j=0,1, ... , m) 、 lcs_xiy0 ( i=0,1, ... , n)設定為0即可。
3.演算法實現
import numpy as np
str_x = np.array(list('abcbdab')) # 字串x
str_y = np.array(list('bdcaba')) # 字串y
num_x = len(str_x) # 字串x的長度
num_y = len(str_y)# 自動糊穿y的長度
lcs = np.zeros( (num_x + 1) * (num_y + 1) ).reshape(num_x+1, -1) #存放lcs解,即最長公共子串行的長度
location = np.zeros( (num_x + 1) * (num_y + 1) ).reshape(num_x+1, -1) #存放位置，1表示斜上方，2表示左邊，3表示上邊
'''由於lcs利用0矩陣構造因此不需要初始化，直接遞推優化的子結構即可求解'''
i = 1
j = 1
while i <= num_x:
j = 1
while j<= num_y:
if str_x[i-1] == str_y[j-1]:
lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1
location[i][j] = 1
else:
if lcs[i-1][j] >= lcs[i][j-1]:
lcs[i][j] = lcs[i-1][j]
location[i][j] = 3
else:
lcs[i][j] = lcs[i][j-1]
location[i][j] = 2
j += 1
i += 1
print 'x和y的最大公共子串行的長度為：',lcs[num_x][num_y]
# 定義遞迴程式輸出公共子串行
def print_substr(str_x, loc, i, j):
if i <= 0 | j <= 0:
return
if loc[i][j] == 1:
print str_x[i-1],
print_substr(str_x, loc, i-1, j-1)
elif loc[i][j] == 2:
print_substr(str_x, loc, i, j-1)
else:
print_substr(str_x, loc, i-1, j)
print 'x和y的最大公共子串行為：',print_substr(str_x, location, num_x, num_y)
4.時間複雜性
-總時間複雜性為o(m*n).
5.空間複雜性
使用lcs陣列和location陣列，需要空間o(m*n)。
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