在介紹主題之前，先來談乙個非常重要的數學思維方法：幾何方法。在大學之前，我們學習過一次函式、二次函式、三角函式、指數函式、對數函式等，方程則是求函式的零點；到了大學，我們學微積分、復變函式、實變函式、泛函等。我們一直都在學習和研究各種函式及其性質，函式是數學一條重要線索，另一條重要線索——幾何，在函式的研究中發揮著不可替代的作用，幾何是函式形象表達，函式是幾何抽象描述，幾何研究「形」，函式研究「數」，它們交織在一起推動數學向更深更抽象的方向發展。
函式圖象聯絡了函式和幾何，表達兩個數之間的變化關係，對映推廣了函式的概念，使得自變數不再僅僅侷限於乙個數，也不再侷限於一維，任何事物都可以拿來作對映，維數可以是任意維，傳統的函式圖象已無法直觀地表達高維物件之間的對映關係，這就要求我們在觀念中，把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。
由於對映的物件可以是任何事物，為了便於研究對映的性質以及數學表達，我們首先需要對對映的物件進行「量化」，取定一組「基」，確定事物在這組基下的座標，事物同構於我們所熟悉的抽象幾何空間中的點，事物的對映可以理解為從乙個空間中的點到另乙個空間的點的對映，而對映本身也是事物，自然也可以抽象為對映空間中的乙個點，這就是泛函中需要研究的物件——函式。
從乙個線性空間到另乙個線性空間的線性對映，可以用乙個矩陣來表達，矩陣被看線性作對映，線性對映的性質可以通過研究矩陣的性質來獲得，比如矩陣的秩反映了線性對映值域空間的維數，可逆矩陣反映了線性對映的可逆，而矩陣的範數又反映了線性對映的哪些方面的性質呢？矩陣範數反映了線性對映把乙個向量對映為另乙個向量，向量的「長度」縮放的比例。
範數是把乙個事物對映到非負實數，且滿足非負性、齊次性、三角不等式，符合以上定義的都可以稱之為範數，所以，範數的具體形式有很多種（由內積定義可以匯出範數，範數還也可以有其他定義，或其他方式匯出），要理解矩陣的運算元範數，首先要理解向量範數的內涵。矩陣的運算元範數，是由向量範數匯出的，由形式可以知：
由矩陣運算元範數的定義形式可知，矩陣a把向量x對映成向量ax，取其在向量x範數為1所構成的閉集下的向量ax範數最大值作為矩陣a的範數，即矩陣對向量縮放的比例的上界，矩陣的運算元範數是相容的。由幾何意義可知，矩陣的運算元範數必然大於等於矩陣譜半徑（最大特徵值的絕對值），矩陣運算元範數對應乙個取到向量ax範數最大時的向量x方向，譜半徑對應最大特徵值下的特徵向量的方向。而矩陣的奇異值分解svd，分解成左右各乙個酉陣，和擬對角矩陣，可以理解為對向量先作旋轉、再縮放、最後再旋轉，奇異值，就是縮放的比例，最大奇異值就是譜半徑的推廣，所以，矩陣運算元範數大於等於矩陣的最大奇異值，酉陣在此運算元範數的意義下，範數大於等於1。此外，不同的矩陣範數是等價的。
範數理論是矩陣分析的基礎，度量向量之間的距離、求極限等都會用到範數，範數還在機器學習、模式識別領域有著廣泛的應用。
什麼是矩陣的範數
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向量範數和矩陣範數
以下分別列舉常用的向量範數和矩陣範數的定義。1 範數 2 範數 即所有向量元素絕對值中的最小值，matlab呼叫函式norm x,inf p 範數 即向量元素絕對值的p次方和的1 p次冪，matlab呼叫函式norm x,p 1 範數 列和範數，即所有矩陣列向量絕對值之和的最大值，matlab呼叫函...