統計學掌握資料的整體狀態

我們日常工作生活中會獲得各種資料，我們希望了解這些資料所代表的整體狀態，從而可以用來描述、比較和評價。

例如乙個公司每個人的收入，乙個公司保齡球對抗賽的分組成績，這些獲得的資料都是數值型資料。我們假設公司有3個部門，每個部門有6個人，其保齡球對抗賽的得分情況如下：

a部門b部門

c部門86

84229

7371

77124

10359

11185

9590

9070

388988

怎麼對這3個部門的成績資料進行比較和評價呢?首先想到的第乙個評估值當然是各部門的總得分情況。例如a部門總得分是522分，b部門總得分是522分，c部門得分是618分。c部門得分最高，a、b部門得分相同。c部門最強。

這是其中一種資料評估項：即總數(sum)。但是，如果a、b、c三個部門的人數不相等呢，那麼顯然人數多的部門有更多的優勢。就像中國和挪威，中國人的數量比挪威人的數量多的多，那麼中國的gdp就比挪威的gdp有更多的優勢，你可以把總數理解為gdp。

那麼，第2種資料評估項就來了：平均數，也稱為「均值(mean)」。即總數量除以總個數。a、b、c這3個部門各是6個人，那麼平均數就是a部門87分，b部87分，c部103分。c部門仍然最強。你可以理解「平均數」為「人均gdp」。

但我們注意觀察一下，c部分平均得分是103分，但是c部門6個人，超過103分的只有1個人，低於103分的有5人，也即超過80%的人沒有過平均數，把103分當作c部門的平均得分好像很不合理啊。

我們經常在各種新聞報道中，有某某行業平均薪酬是多少萬元，某地區人均薪酬是多少，例如軟體行業平均薪酬25萬元，金融行業平均薪酬50萬元，很多人的感覺是自己拖後腿了。這種感覺沒有錯，可能8o%的人實際上都沒有過平均數，因為平均數被行業中某些高收入的人拉高了。

在這種情況下，使用「中位數(median)」來評估資料可能更合適，中位數就是將資料依大小順序排列，取最中間的值，例如a部門的得分是86、73、124、111、90、38，按照順序排列是38、73、86、90、111、124，最中間的值是86、90。

中位數的計算方法是：如果資料個數是奇數，則最中間的值就是中位數；如果資料個數是偶數，則最中間的2個值的平均數是中位數。那麼a部門的中位數是(86+90)/2=88，b部門是(85+89)/2=87，c部門是(77+88)/2=82.5。可以看出，c部門的中位數反而是最低的。

我們再來看一下，a部門和b部門的總得分相同，都為522分，平均得分也相同，都為87分，中位數也差不多。但我們把a部門和b部門的各個得分畫成下圖，能夠看出來這2隊的資料狀況大不相同吧。

a部門各人的得分散落在各處，而b部門各人的得分都相當接近。表現資料這種「離散程度」的資料評估項，就是「標準差(standard deviation)」，標準差的最小值為0、而資料的「離散程度」越大，標準差就越大。標準差的計算如下：

通過上式計算得到a部門的得分標準差是30.17，b部7的得分標準差是10.37。也就是說總得分、平均數都相同，中位數很接近的a部門和b部門，離散程度卻相差3倍。顯然b部門的得分更加均衡。你可以理解為在gdp和人均gdp相同的情況下，標準差低的收入更加均衡，貧富差距比較小。

上面都是對數值資料的整體掌握，那麼對於分類資料呢？例如移動通訊公司收集到乙份資料，對移動通訊服務的評價情況，「非常滿意、滿意、一般、無所謂」。

序號滿意程度

1非常滿意2滿意

3滿意4一般

5一般6無所謂7一般

……..

對於分類資料，一般通過計算各個分類佔總數的比例來掌握資料的整體狀態，例如上面100個調查資料中，非常滿意的有18人，滿意的有70人，股的有10人，無所謂的有2人，那麼這4個分類分別佔比是18%，70%，10%、 2%。

統計學 掌握資料的整體狀態