問題描述：
任意乙個整數x都可以寫成一系列2的冪的組合，這裡的組合是指用加減法把它們接連起來。令f(x)為x需要的最少的2的冪的項數，求f(x)。如：7
=20+
21+2
2 7=
23−2
0 ∴
f(7)
=2宣告：因為f
(x)=
f(−x
) , 所以後文一致假設x非負。另外令f(
0)=0
。下面介紹三種演算法，由易到難，且演算法之間存在聯絡。
演算法1：
令floor2(x)表示不大於x的最大2冪, ceil2(x)表示不小於x的最小2冪，最優的組合要麼是floor2(x)加上其它一些項，或者是ceil2(x)減去其它一些項。
於是可以得到求f(x)的乙個遞迴過程如下：
def
f(x):
if x == 0: return
0 l = floor2(x)
u = ceil2(x)
if l == u: return
1return
1 + min(f(x - l), f(u - x))
觀察演算法1會發現，有很多的計算都是重複的
如對於對於求f(
測試**：
def
floor2
( x ):
a = 1
while a < x:
a = a * 2
if a == x:
return a
else:
return a / 2
defceil2
( x ):
a = 1
while a < x:
a = a * 2
return a
deff
(x):
print x
if x == 0:
return
0 l = floor2(x)
u = ceil2(x)
if l == u:
return
1return
1 + min(f(x - l), f(u - x))
print f( 23 )
def
f(x):
if x == 0: return
0if x in table: return table[x]
l = floor2(x)
u = ceil2(x)
if l == u: return
1 r = 1 + min(f(x - l), f(u - x))
table[x] = r
return r
演算法2是乙個從本身串層層向下遞推的過程，因此需要額外記憶體儲存結果，因此想到，可以改進演算法2為由下向上的過程。
分析演算法2的遞推過程：如x
=(1010110)2
x−floo
r2(x
)=(0010110)2
ceil2(x
)−x=
(10000000)2
−(1010110)2
=(0101010)2
= ~x+
1 我們會發現，x−
floo
r2(x
) 表示的是自身串從左往右數，第二個1之後的子串，ce
il2(
x)−x
表示的是自身串從左往右數，第乙個0之後的子串取反加1
因此，演算法3的思路就是，從右往左遍歷自身串，用u表示以1開頭的串的f(
x)值，用d表示以0開頭的串取反加一的f(
x)值從右往左掃，掃到1則更新u，掃到0則更新d
自身串最右邊剛開始的那些0是沒有用的，一直掃到1開始更新，u、d賦初值1
**中的》1不要當成除以2，而是看做二進位制字串的右移。&1 == 1表示最後一位是1.
def
f(x):
if x == 0: return
0while x & 1 == 0: x = x >> 1
u = 1
d = 1
x = x >> 1
while x > 0:
if x & 1 == 1:
u = min(u, d) + 1
else:
d = min(u, d) + 1
x = x >> 1
return u
今天重新看了這篇文章，發現自己竟然看不懂了，what？現在終於又懂了，再把思路重新梳理一下。
前兩個方法沒什麼好說的，關鍵是第三個方法，裡面的u與v。
u指的是當前二進位制字串（以1開頭）從左往右第二個1開頭的新串的f(
x)值，v指的是當前二進位制字串從左往右第乙個0開頭的新串取反加一得到的新新串的f(
x)值（f(
x)中的x指的是新串與新新串）
舉個例子就懂了，這個方法確實很神奇
1010110
初始，
u: 10: 1
v: 10: 1
ps：10表示代表的串，1表示需要二進位制數的個數
計算110，因為1開頭，所以更新u u=
u+1 : 100 + u 或u
=v+1
: 1000 - v
結果：u: 110: 2
計算1010（原串：0110），更新v v=
u+1 : 10000 - u 或v
=v+1
: 1000 + v
結果：v: 1010: 2
計算10110，更新u u=
u+1 : 10000 + u 或u
=v+1
: 100000 - v
結果：u: 10110: 3
計算101010（原串：010110），更新v v=
u+1 : 1000000 - u 或v
=v+1
: 100000 + v
以此類推
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