個人對揹包問題的二進位制優化問題的理解

完全揹包問題是指

有n種物品和乙個容量為v的揹包，每一種物品都是有無限的個數。也就是從每種物品角度分析，與其相關的策略不是選不選的問題了已經轉換為選多少個的問題了

其實說到這裡你難道不覺得有點像dag圖的銀幣問題嗎只是那裡的權值是1 這裡的權值是w

（其實我一開始在想乙個問題 dag圖不是確定起點以及終點的求最小或者最長路徑的嘛這裡只是確定了起點而且終點只是乙個範圍值因為有可能是放不滿的）

但是再想想dag圖的硬幣問題也是放不滿的，因為你不能保證每一都能剛剛好籌到n 所以這裡完全揹包問題和dag圖的硬幣問題是一樣的，所以當你求最大值的時候就要初始化陣列為負無窮但是陣列0的地方為0

這樣就可以保證上乙個是存在的

那麼按照dag圖的硬幣問題就是可以處理每乙個狀態（每乙個狀態都是選擇每乙個揹包來計算然後把個數轉換為重量）

for(int i=1;i<=s;i++)

for(int j=1;j<=n;j++)

if(i>=v[j])

時間複雜都是ns

現在我來說說完全揹包問題沒有優化的思路吧，其實完全揹包問題也是有點像01揹包問題那樣，但是因為揹包的數目是無限的那麼轉移方程是f[i][v]=max 每一狀態都要處理o(v/c[i])次那麼總的處理次數是超過o(vn)

這裡有乙個小小的思路吧假如有兩個揹包揹包體積第乙個比第二個小並且第乙個揹包的價值比第二個大那麼就要捨棄第二個了但是這樣還是改變不了最不利的情況

現在說一下揹包問題的二進位制優化問題

其實01揹包問題是最簡單的揹包問題那麼我們就在想能不能把完全揹包問題以及多重揹包問題轉換為01揹包問題，其實這裡之間的轉換就是差了個二進位制優化的操作，就是把乙個揹包為乙個每次能選擇一次的新揹包集合

下面先說說關於多重揹包的二進位制優化（個人覺得這個比較容易理解）

假設有一種大公尺只有m袋例如m為100 利用二進位制來分解

for(int j=1;j<=a[i].num;j<<=1)

當a[i].num不為0的時候就

weigh[coun]=a[i].num*a[i].weight;

size[coun++]=a[i].num*a[i].value;

100=1+2+4+8+16+32+37

本來正常的思路是把100弄成100個1 即100個只能使用一次的物品但是現在把100弄成1+2+4+8+16+32+37 7個數可以組合成100以內的任意乙個數所以可以這樣拆分把每乙個揹包都拆成乙個集合之後在進行01揹包的處理

for(int i=0;i0)

}//--------------------0 1 揹包問題求解--------------------------------//

memset(dp,0,sizeof(dp));

for(int i=0;i=size[i];j--)

dp[j]=max(dp[j],dp[j-size[i]]+weigh[i]);

好了現在來說一下完全揹包問題的二進位制優化問題吧因為完全揹包問題每一種揹包都是沒有數目的要求的。

所以你只需要你所弄的揹包集合的空間集合是小於總集合的

當跳出第一迴圈的時候應該補齊剩下的（剩下的空間除以自己空間剩餘的個數）

其實還是有一種更加方便的思路的就是用乙個陣列記錄每一種揹包最多可以存在的數目然後就可以把它視為

限制的個數然後就可以像多重揹包那樣處理