多重揹包是這樣的乙個問題：
有n種物品，第i種物品的體積為ci，價值是wi，但是每種物品的數量都是有限的，為ni。現在有容量為v的揹包，請你放入若干物品，使獲得的價值盡量大。樸素演算法：
把n種物品逐個拆分，得到σni個物品，則原問題可轉化為01揹包求解。這樣做的時間複雜度為o(v×σn)。
或者是在列舉種類的過程中列舉個數k，這樣做可以優化空間複雜度，但時間複雜度也是o(v×σn)。
優化：
我們可以考慮二進位制的思想，將第i種物品拆分成若干件物品，可以有（ci,wi),(ci×2,wi×2),(ci×4,wi×4)，等等，每個物品有乙個係數，1, 2, 4, 8… 2k-1, n-2k+1
其中，k是滿足n-2k+1>0的最大整數。
比如可以用1,2,4,8,5（20-1-2-4-8=5）這5個數進行組合並相加，來得到20以內的任何數。
這樣一來，從n件物品就拆分成了至多logn件物品，再轉化為01揹包問題求解，複雜度降低到o(vσlogn)。
思考：
實際上還是運用了倍增的思想。
與之前的倍增略有不同的是，這次不再是將給定的k運用二進位制編碼進行組合（對於給定的k，確對應乙個二進位制編碼，一定可以用2p將其組合出來）。
而是將k以二進位制的形式進行拆分，再對拆分後的數進行組合。（保證1~k中的每個數都能由這幾個數最多使用一次組合出來）。
例題：
description
byteotian bit bank (bbb) 擁有一套先進的貨幣系統,這個系統一共有n種面值的硬幣,面值分別為b1, b2,…, bn. 但是每種硬幣有數量限制,現在我們想要湊出面值k求最少要用多少個硬幣.
input
第一行乙個數 n, 1 <= n <= 200.
接下來一行 n 個整數b1, b2,..., bn, 1 <= b1 < b2 < ... < b n <= 20 000,
第三行 n 個整數c1, c2,..., cn, 1 <= ci <= 20 000, 表示每種硬幣的個數.
最後一行乙個數k – 表示要湊的面值數量, 1 <= k <= 20 000.
第一行乙個數表示最少需要付的硬幣數
裸的多重揹包問題，狀態f[i][j]表示用i種硬幣湊出j元最少需要多少個硬幣。
狀態轉移方程：f[i][j]=min(f[i-1][j-v[i]]+1,f[i-1][j])。
code：
#include
#include
const
int maxn=
211;
int n;
int b[maxn]
,w[maxn*maxn]
,v[maxn*maxn]
,f[20011];
intmain()
w[++cnt]
=c-(t-1)
; v[cnt]
=b[i]
*w[cnt];}
int k;
scanf
("%d"
,&k)
;for
(int i=
1;i<=k;i++
) f[i]
=200015
; f[0]
=0;for
(int i=
1;i<=cnt;i++
)for
(int j=k;j>=v[i]
;j--
)printf
("%d"
,f[k]);
return0;
}
多重揹包二進位制優化
多重揹包二進位制優化 將價值數量相同的物品分成1,2,4,8.因為100以內任何數都可以由幾個2的n次方數組成。所以，有遍歷沒乙個數變為遍歷每乙個2的n次方數。例題 有n種物品，每種物品的數量為c1，c2.cn。從中任選若干件放在容量為w的揹包裡，每種物品的體積為w1，w2.wn wi為整數 與之相...
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