01揹包問題和完全揹包問題

01揹包問題，是用來介紹動態規劃演算法最經典的例子，網上關於01揹包問題的講解也很多，我寫這篇文章力爭做到用最簡單的方式，最少的公式把01揹包問題講解透徹。

f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的揹包中，可以取得的最大價值。

pi表示第i件物品的價值。

決策：為了揹包中物品總價值最大化，第 i件物品應該放入揹包中嗎？

題目描述：

有編號分別為a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？

name

weight

value12

3456

78910

a260

6699

1212

151515b

2303

3669

991011c6

5000

6666

61011d

5400

0666

661010e4

6000

6666

666

只要你能通過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃演算法。

首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。

為了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重為2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因為e物品的重量是4，揹包裝不了。

對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重為2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因為物品e,d都不是這個揹包能裝的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

對於承重為8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？

根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，

乙個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另乙個是f[i-1,j-wi]+pi；

在這裡，

f[i-1,j]表示我有乙個承重為8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]表示我有乙個承重為6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-wi]就是指單元格b6,值為9，pi指的是a物品的價值，即6

由於f[i-1,j-wi]+pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重為8的揹包

01揹包問題：乙個揹包總容量為v，現在有n個物品，第i個物品體積為weight[i]，價值為value[i]，現在往揹包裡面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？

看到這個問題，可能會想到貪心演算法，但是貪心其實是不對的。例如最少硬幣找零問題，要用動態規劃。動態規劃思想就是解決子問題並記錄子問題的解，這樣就不用重複解決子問題了。

動態規劃先找出子問題，我們可以這樣考慮：在物品比較少，揹包容量比較小時怎麼解決？用乙個陣列f[i][j]表示，在只有i個物品，容量為j的情況下揹包問題的最優解，那麼當物品種類變大為i+1時，最優解是什麼？第i+1個物品可以選擇放進揹包或者不放進揹包（這也就是0和1），假設放進揹包（前提是放得下），那麼f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]+value[i+1]；如果不放進揹包，那麼f[i+1][j]=f[i][j]。

這就得出了狀態轉移方程：

f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])。

可以寫出**測試：

#includeusing namespace std;

#define v 1500

unsigned int f[10][v];//全域性變數，自動初始化為0

unsigned int weight[10];

unsigned int value[10];

#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)

int main()

for (int i=1; i<=n; i++)

for (int j=1; j<=m; j++)

else

f[i][j]=f[i-1][j];

} cout《在hihocoder上面還講到可以進一步優化記憶體使用。上面計算f[i][j]可以看出，在計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用其他子問題，因此在儲存子問題的解時，只儲存f[i-1]子問題的解即可。這樣可以用兩個一維陣列解決，乙個儲存子問題，乙個儲存正在解決的子問題。

再進一步思考，計算f[i][j]時只使用了f[i-1][0……j]，沒有使用f[i-1][j+1]這樣的話，我們先計算j的迴圈時，讓j=m……1，只使用乙個一維陣列即可。

for i=1……n

for j=m……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

#includeusing namespace std;

#define v 1500

unsigned int f[v];//全域性變數，自動初始化為0

unsigned int weight[10];

unsigned int value[10];

#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)

int main()

for (int i=1; i<=n; i++)

for (int j=m; j>=1; j--)

} cout<

在看完01揹包問題，再來看完全揹包問題：

乙個揹包總容量為v，現在有n個物品，第i個物品體積為weight[i]，價值為value[i]，每個物品都有無限多件，現在往揹包裡面裝東西，怎麼裝能使揹包的內物品價值最大？

對比一下，看到的區別是，完全揹包問題中，物品有無限多件。往揹包裡面新增物品時，只要當前揹包沒裝滿，可以一直新增。那麼狀態轉移方程為：

f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]+k*value[i+1])，其中0<=k<=v/weight[i+1]

使用記憶體為一維陣列，偽**

for i=1……n

for j=1……m

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

和01揹包問題唯一不同的是j是從1到m。01揹包問題是在前乙個子問題（i-1

種物品）的基礎上來解決當前問題（i

種物品），向i-1種物品時的揹包新增第i種物品；而完全揹包問題是在解決當前問題（i種物品），向i種物品時的揹包新增第i種物品。

**如下：

#includeusing namespace std;

#define v 1500

unsigned int f[v];//全域性變數，自動初始化為0

unsigned int weight[10];

unsigned int value[10];

#define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y)

int main()

for (int i=1; i<=n; i++)

for (int j=1; j<=m; j++)

} cout<

01揹包問題和完全揹包問題

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