最小生成樹Prim演算法理解

mst（minimum spanning tree，最小生成樹）問題有兩種通用的解法，prim演算法就是其中之一，它是從點的方面考慮構建一顆mst，大致思想是：設圖g頂點集合為u，首先任意選擇圖g中的一點作為起始點a，將該點加入集合v，再從集合u-v中找到另一點b使得點b到v中任意一點的權值最小，此時將b點也加入集合v；以此類推，現在的集合v=，再從集合u-v中找到另一點c使得點c到v中任意一點的權值最小，此時將c點加入集合v，直至所有頂點全部被加入v，此時就構建出了一顆mst。因為有n個頂點，所以該mst就有n-1條邊，每一次向集合v中加入乙個點，就意味著找到一條mst的邊。

用圖示和**說明：

初始狀態：

設定2個資料結構：

lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0說明以i為終點的邊的最小權值=0,也就是表示i點加入了mst

mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點，即說明邊是mst的一條邊，當mst[i]=0表示起點i加入mst

我們假設v1是起始點，進行初始化（*代表無限大，即無通路）：

lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*

mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有點預設起點是v1）

明顯看出，以v3為終點的邊的權值最小=1，所以邊=1加入mst

此時，因為點v3的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3

明顯看出，以v6為終點的邊的權值最小=4，所以邊=4加入mst

此時，因為點v6的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0

明顯看出，以v4為終點的邊的權值最小=2，所以邊=4加入mst

此時，因為點v4的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0

mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0

明顯看出，以v2為終點的邊的權值最小=5，所以邊=5加入mst

此時，因為點v2的加入，需要更新lowcost陣列和mst陣列：

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0

很明顯，以v5為終點的邊的權值最小=3，所以邊=3加入mst

lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0

mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0

至此，mst構建成功，如圖所示：

根據上面的過程，可以容易的寫出具體實現**如下（cpp）：

#include#includeusing  namespace std;
#define max 100
#define maxcost 0x7fffffff
int graph[max][max];
int prim(int graph[max], int n)
mst[1] = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
}cout << "v"
<< mst[minid] << "-v"
<< minid << "="
<< min
<< endl;
sum += min;
lowcost[minid] = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)}}
return sum;
}int main()
}//構建圖g
for (k = 1; k <= n; k++)
//求解最小生成樹
cost = prim(graph, m);
//輸出最小權值和
cout << "最小權值和="
<< cost << endl;
system("pause");
return
0;}

input：

6 10 1 2 6 1 3 1 1 4 5 2 3 5 2 5 3 3 4 5 3 5 6 3 6 4 4 6 2 5 6 6

output：

v1-v3=1
v3-v6=4
v6-v4=2
v3-v2=5
v2-v5=3
最小權值和=15
請按任意鍵繼續. . .

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