斐波那契堆

斐波那切堆資料結構有兩種用途。第一種，它支援一系列操作，這些操作構成了所謂的「可合併堆」；第二種，斐波那切堆的一些操作可以在常數攤還時間內完成，這使得這種資料結構非常適合於需要頻繁呼叫這些操作的應用。

可合併堆是支援以下5種操作的一種資料結構，其中每個元素都有乙個關鍵字：

- make_heap()：建立和返回乙個新的不含任何元素的堆。

- insert(h, x)：將乙個已填入關鍵字的元素x插入堆h中。

- minimum(h)：返回乙個指向堆h中具有最小關鍵字元素的指標。

- extract_min(h)：從堆h中刪除最小關鍵字的元素，並返回乙個指向該元素的指標。

- union(h1, h2)：建立並返回乙個包含堆h1和堆h2中所有元素的新堆。堆h1和堆h2由這一操作「銷毀」。

除了以上可合併的操作外，斐波那契堆還支援以下兩種操作：

- decrease_key(h, x, k)：將堆h中元素x的關鍵字賦予新值k，假定新值k不大於當前的關鍵字。

- delete(h, x)：從堆h中刪除元素x。

乙個斐波那切堆是一系列具有最小堆序的有根樹的集合。每棵樹均遵循最小堆性質：每個結點的關鍵字大於或等於它的父結點的關鍵字。

每個結點x包含乙個指向它父結點的指標x.p和乙個指向它的某乙個孩子的指標x.child。x的所有孩子被鏈結成乙個環形的雙向鍊錶，稱為x的孩子鍊錶。孩子鍊錶中的每個孩子y具有指標y.left和y.right，分別指向y的左兄弟和右兄弟。如果y是僅有的乙個孩子，則y.left=y.right。

每個結點有另外兩個屬性。把結點x的孩子鍊錶中的孩子數目儲存在x.degree，在乙個n個結點的斐波那切堆中任何結點的最大度數都有上界d(n)，並且d(n) ≤ o(lgn)。布林值屬性x.mark指示結點x自從上一次成為另乙個結點的孩子後，是否失去過孩子。新產生的結點是未標記過的，並且當結點x成為另乙個結點的孩子時，它便成為未被標記結點。

通過指標h.min來訪問乙個給定的斐波那切堆h，該指標指向具有最小關鍵字的樹的根結點，把這個結點稱為斐波那切堆的最小結點。如果不止乙個根結點具有最小關鍵字，那麼這些根結點的任何乙個都有可能成為最小結點。如果乙個斐波那切堆h是控的，那麼h.min為nil。

在斐波那切堆中，所有樹的根都用其left和right指標鏈成乙個環形的雙鏈表，該雙鏈表稱為斐波那切堆的根鍊錶。指標h.min指向根煉表中關鍵字最小的那個結點。

斐波那切堆h中還有另乙個屬性：h.n，表示h中當前的結點數目。

建立乙個新的斐波那切堆，make_fib_heap過程分配並返回乙個斐波那切堆物件h，其中h.n=0和h.min=nil，h中不存在樹。

將結點x插入斐波那切堆h中，假定該結點已經被分配，x.key已經被賦值。

fib_heap_insert(h, x)
x.degree = 0
x.p = nil
x.child = nil
x.mark = false
if h.min == nil
create
a root list for h containing just x
h.min = x
else
insert x into h』s root list
if x.key < h.min.key
h.min = x
h.n = h.n + 1

斐波那切堆的最小結點可以通過指標h.min得到。

下面的過程合併斐波那契堆h1和h2，並在該過程中銷毀h1和h2。它簡單的將h1和h2的根鍊錶鏈結，然後確定新的最小結點，之後，表示h1和h2的物件將不再使用。

fib_heap_union(h1, h2)
h = make_fib_heap()
h.min = h1.min
concatenate the root list of h2 with
the root list of h
if (h1.min == nil) or (h2.min ≠ nil and h2.min.key < h1.min.key)
h.min = h2.min
h.n = h1.n + h2.n
return h

假定當乙個結點從鍊錶中移除後，留在鍊錶中的指標要被更新，但是抽取出的結點中的指標並不改變。該**還呼叫乙個輔助過程consolidate。

fib_heap_extract_min(h)
z = h.min
if z ≠ nil
foreach child x of z
add x to
the root list of h
x.p = nil
remove z from
the root list of h
if z == z.right
h.min = nil
else
h.min = z.right
consolidate(h)
h.n = h.n – 1
return z

fib_heap_extract_min首先將最小結點的每個孩子變為根結點，並從根煉表中刪除該最小結點。然後通過把具體相同度數的根結點合併的方法來鏈結成根鍊錶，直到每個度數至多只有乙個根在根煉表中。

下一步是合併h的根鍊錶，通過呼叫consolidate（h）來減少斐波那切堆中樹的數目。合併根鍊錶的過程為重複執行以下步驟，直到根煉表中的每乙個根有不同的度數。

1. 在根煉表中找到兩個具有相同度數的根x和y。不失一般性，假定x.key≤y.key。

2. 把y鏈結到x：從根煉表中移除y，呼叫fib_heap_link過程，使y成為x的孩子。該過程將x.degree屬性增1，並清除y上的標記。

過程consolidate使用乙個輔助陣列a[0..d(h.n)]來記錄根結點對應的度數的軌跡。如果a[i]=y，那麼當前的y是乙個具有y.degree=i的根。

consolidate(h)
let a[0..d(h.n)]be a
new array
for i = 0
to d(h.n)
a[i] = nil
foreach node w in
the root list of h
x = w
d = x.degree
while a[d] ≠ nil
y = a[d]
if x.key > y.key
exchange x with y
fib_heap_link(h, y, x)
a[d] = nil
d = d + 1
a[d] = x
h.min = nil
for i = 0
to d(h.n)
if a[i] ≠ nil
if h.min == nil
create
a root list for h containing just a[i]
h.min = a[i]
else
insert a[i] into h』s root list
if a[i].key < h.min.key
h.min = a[i]

fib_heap_link(h, y, x)
remove y from
the list of h
make y a child of x, incrementing x.degree
y.mark = false

假定從乙個鍊錶中移除乙個結點不改變移除的結點的任何結構屬性。

fib_heap_decrease_key(h, x, k)
if k > x.key
error 「new
keyis greater then current key」
x.key = k
y = x.p
if y ≠ nil and x.key
< y.key
cut(h, x, y)
cascading_cut(h, y)
if x.key
< h.min.key
h.min = x

cut(h, x, y)
remove x from
the child list of y, decrementing y.degree
add x to
the root list of h
x.p = nil
x.mark = false

cascading_cut(h, y)
z = y.p
if z ≠ nil
if y.mark == false
y.mark = true
else
cut(h, y, z)
cascading_cut(h, z)

cut過程「切斷」x與其父結點y之間的鏈結，使x成為根結點。

我們使用mark屬性來得到需要的時間界。該屬性記錄了每個結點的一小段歷史。假定下面的步驟已經發生在結點x上：

1. 在某個時刻，x是根。

2. 然後x被鏈結到另乙個結點（成為孩子結點）。

3. 然後x的兩個孩子被切斷操作移除。

一旦失掉第二個孩子，就切斷x與其父結點的鏈結，使它成為乙個新的根。

假定在斐波那切堆中任何關鍵字的當前值均不為-∞。

fib_heap_delete(h, x)
fib_heap_decrease_key(h, x, -∞)
fib_heap_extract_min(h)

fib_heap_delete把唯一的最小關鍵字-∞賦予x，將x變為斐波那切堆中最小的結點。然後fib_heap_extract_min過程從斐波那切堆中移除x。

斐波那契堆

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