斐波那契堆，和二項堆類似，也是由一組最小堆有序的樹構成。注意區別，不是二項樹，是有根而無序的樹。導論中，斐波那契堆只是具有理論上的意義，是以平攤分析為指導思想來設計的資料結構，主要是漸進時間界比二項堆有改善。斐波那契堆除去刪除元素操作外，其他操作只有o(1)的平攤執行時間，而二項堆需要o(lgn)的最壞情況執行時間。但若要斐波那契堆能轉化為實際應用，除要保證有相同平攤時間界限外，還需更簡單的資料結構。導論中提到斐波那契堆應用於最小生成樹和尋找單源最短路徑，可重點理解。
總結來說，斐波那契堆，相對二項堆來說，在多數操作上改善漸進時間，但僅適用於刪除操作動作較少的場景，且其結構複雜實用價值不大。下面看看斐波那契堆的結構及各操作的平攤分析勢能方法。
斐波那契堆的結點，包含指向父結點的指標p[x]、指向任一子女的指標child[x]、左兄弟指標left[x]、右兄弟指標right[x]、結點子女個數degree[x]、標記是否失去子女mark[x]。值得一提的是，通過左右兄弟指標，子女結點被鏈結成乙個環形雙鏈表。
對給定的斐波那契堆h，通過指向包含最小關鍵字的樹根的指向min[h]來訪問，這個結點就是斐波那契堆中的最小結點。所有的樹根通過left和right指標構成乙個環形雙鏈表，為堆的根表。指標min[h]指向根表中具有最小關鍵字的結點。h中所包含的結點個數為n[h]。斐波那契堆用勢能方法分析其操作的平攤效能，對給定的斐波那契堆h，t(h)表示h根表中樹的棵樹，m(h)表示h中有標記結點的個數，勢定義如下：
斐波那契堆的操作要分兩類，一類是建堆、插入結點、合併堆和抽取堆最小值；另一類是關鍵字值減少和結點刪除。
1）第一類操作斐波那契堆是一組無序的二項樹，符合二項樹的性質，性質四有所不同，描述為：無序二項樹uk，根的度數是k，大於任何其他結點的度數；根的子女按照某種順序分別為u0,u1,…,uk-1的根。n個結點的斐波那契堆由一組無序的二項樹構成。基本操作的平攤效能都是o(1)，抽取最小值是o(lgn)。
2）第二類操作斐波那契堆是一組無序的樹，即不保持二項樹性質，操作的平攤效能是o(lgn)。
建堆、插入結點（直接作為一顆二項樹放在斐波那契堆的根表，然後將最小關鍵字指標重新調整）、尋找最小結點（第乙個結點就是）、合併兩個斐波那契堆（簡單將兩個堆的根表合併即可），都是o(1)代價。重點要說明抽取最小結點的演算法，和第二類中關鍵字值減小和刪除結點操作，都是o(lgn)代價。
1）抽取最小結點
fun_fib_heap_extract_min(h){
z=min[h];
if z ≠ null
then for each child x of z
do add x to root list of h
p[x]=null
remove z from the root list of h //將最小結點的子女調整為根並刪除最小結點
if z=right[z] then min[h]=null
else min[h] = right[z] //將右兄弟作為最小結點，就是堆的入口結點
consolidate(h) //調整堆
n[h]=n[h]-1 //堆結點數減1
returun z
重點是堆調整，使根結點的度數都是唯一的，且保持無序二項樹性質。
fun_ consolidate(h){
for i=0 to d(n[h]) //結點度數上界
do a[i]=null
for each node w in the root list of h
do x=w
d=degree[x]
while a[d] ≠ null
do y=a[d]
if key[x]remove y form the root list of h
make y a child of x,incrementingdegree[x]
mark[y]=false
a[d]=null
d=d+1
a[d]=x //對根表中的每乙個根w進行處理，使每個度數下至多只有乙個根（發現有相同度數，小值作為根，大值下沉為子女），且陣列a指向每乙個留下的根。用a陣列作為輔助陣列，將根表中每個結點的度數對映過去。要對y進行標記，是勢函式計算依據。這種處理思路就使用利用結點度數0-n的最大值作為陣列來儲存根表中結點的度數，是一種很有用的常量對映辦法。
min[h]=null
for i=0 to d(n[h])
do if a[i] ≠ null
then add a[i] to the root list of h
if min[h]=null orkey[a[i]]then min[h]=a[i]
2）關鍵字值減小
斐波那契堆結點關鍵字值減小，主要是保持最小堆有序的性質，具體演算法如下：
fun_fib_heap_decreasekey(h,x,k){//x結點關鍵值減少為k
if k>key[x] then return;
key[x]=k
y=p[x]
if y ≠ null and key[x] then cut(h,x,y)
cascading-cut(h,y)
if key[x] 如果x結點減小後的關鍵值小於父結點y，則要調整堆，具體演算法如下：
fun_cut(h,x,y){
remove x from the child list ofy,decrementing degree[y]
add x to the root list of h
p[x] =null
mark[x]=false
將x鏈結到根表。
fun_ cascading-cut(h,y){
z=p[y]
if z ≠null
then if mark[y]=false //失去乙個子結點
then mark[y]=true
else cut(h,y,z)
cascading-cut(h,z)
級聯處理，保持最小堆性質。刪除結點就可以通過減少結點關鍵值和抽取最小結點來完成，先把要刪除的結點關鍵值減少為負無窮大，然後抽取最小值結點來作為堆入口。
演算法導論19（斐波那契堆）
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演算法導論筆記 19斐波那契堆
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斐波那契堆
以下是實現的程式 肯定可以再優化的。include include include include using namespace std class node delete m child m child null class fibonacciheap node insert int key v...