要點：
題目：
1.limx→
0tanx−
xx2ln
(1+2
x);
分析：ln(1+2x
)∼2x
, 洛必達法則
原式 = 12
limx→0
tanx−x
x3=1
6limx→
0sec2x
−1x2
=16limx→
0tan2x
x2=1
6
2.limx→
01+tanx√
−1+sinx√
x3;
分析：分子有開根號，要去掉，同時乘以1+tanx−−
−−−−
−√+1
+sinx−
−−−−
−−√ 試試;分母如果是x2
，那麼分子要想辦法變成1−
cosx
原式 =
limx→0
tanx
−sinxx
3(1+
tanx√+
1+sinx√)
=12limx→
0tanx−
sinxx3
=12limx→
0tanxx
⋅1−cosxx
2=14
3.limx→
0ex2
−cosxx
2;
分析：看到ex,cos
x 在一起，可以通過新增乙個1來利用這兩個等價無窮小：ex
−1∼x
,1−cosx∼
x22
原式 =
limx→0
ex2−
1x2+
limx→0
1−cosxx2
=32
4.limx→
0ex2
−esin2xx
4;
分析：這個題就要提取esin2x
來利用ex
−1∼x
.無窮小相加是我們願意看到的，而無窮小相減不能直接計算，而是要通過洛必達法則來變形。
原式 =
limx→0
esin2x
ex2−
sin2x−
1x4=
limx→0
ex2−
sin2x−
1x4=
limx→0
(x+sinx)
(x−sinx)
x4=limx→
0x+sinxx
⋅x−sinxx
3=2limx→
0x−sinxx
3=23
limx→0
1−cosxx2
=13
5.limx→
0arctanx−
arcsinxx
3;
分析：新增乙個x，然後分開這個式子（有點神來之筆），利用(1+x)a
−1∼a
x ;利用洛必達法則，如果發現求導不好求，可以用式子代替原來的x; 分母如果是x3
,直覺告訴我們應該可以用洛必達加等價無窮小解決。
原式 =
limx→0
arctanx−
xx3+
limx→0
x−arcsinxx
3
limx→0
arctanx−
xx3=
13limx→0
11+x
2−1x
2=13
limx→0
(1+x
2)−1
−1x2
=−13
limx→
0x−arcsinxx
3=x=
sint
limt→0
sint−t
sin3t=
limt→0
sint−t
t3=1
3limt→
0cost−
1x2=
−16
原式 = −1
3−16
=−12
6.limx→
01x3
[(2+
cosx3)
x−1]
;
分析：看到u(x)g(
x)要利用這個變形：eg
(x)ln
u(x)
;看到ln
(a) 做分子分母的時候想辦法變成ln
(1+b
) 這種形式
原式 =
limx→0
exln2
+cosx3
−1x3
=limx→
0ln2+
cosx3x
2=limx→0
ln(1+
cosx−1
3)x2
=13limx→
0cosx−
1x2=
−16
7.limx→
01−cosx⋅
cosx√x
2;
分析：新增乙個cosx
使得其中一部分利用等價無窮小求出來，同時，把另一部分提取乙個
cosx
,limx→0
cosx=1
. 原式 =
limx→0
1−cosxx2
+limx→
0cosx1
−cosx√
x2=1
2+limx→0
1−cosxx2
⋅(1+
cosx√)
=12+
12limx→0
1−cosxx2
=34
8.limx→
0[sinx
−sin
(sinx)
]sinxx
4;
分析：使sinx=x
,變形式子，即可求得。
原式 =
limt→0
t−sint
sin4t=
limt→0
t−sintt3
=16
9.limx→
0lnsinxx(
1+x)
sin2x−
1;
分析：利用前面說的技巧就可以做出來了。原式 =
limx→0
lnsinxx
esin2x
ln(1+
x)−1
=limx→
0ln(1
+sinx−
xx)2
x2=1
2limx→
0sinx−
xx3=
−112
10.limx→
0cosx−
e−x2
xx3sinx;
11.limx→
∞ex−
xarctanxe
x+x;
12.limx→
−∞x+
2+4x
2+4x
+2√x
2−2x
+4√;
13.limx→
0+lnx
ln(1−
x);
ps:考研期間不斷更新！！！
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