從陀螺儀得到x、y、z三個角速度後就需要通過積分來得到角度，事實上，經過簡單的積分是得不到正確的角度的，更得不到尤拉角，在這裡說一下通過的runge-kunta更新四元數，從而對角速度積分得到角度的過程。
四元數能到快速的發展，得益於飛行器控制與導航的發展，要求更合理的描述剛體空間的運動，以便於計算機的計算。
在採用方向余弦描述飛行器運動時，要積分矩陣微分方程：
c為載體座標到世界座標系的方向余弦矩陣，ω為載體座標系相對於世界座標系旋轉角速度ω的反對稱矩陣。進行計算時將包含9個一階微分方程，計算量很大。
在使用四元數進行求解時，需要求解四元數方程：
其中，q為描述載體座標系轉動的四元數，ω為載體座標系相對世界座標系轉動的角速度，同樣的可以表示為四元數： ω
=0+ω
x⋅i+
ωy⋅j
+ωz⋅
k 按四元數乘積展開：
了解過微分方程的應該知道，只有一小部分的微分方程是可以求出通解的，剩下的大部分都需要其他的一些方法來了解性質或者求數值解等等。
runge-kunta法就是一種常微分方程的數值解法，可以求得常微分方程的近似數值解，可以參考《數值分析》之類的數學書籍深入了解。
這裡先給出四階標準r-k公式：
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