離散傅利葉變換的概念

離散傅利葉變換（dft），是傅利葉變換

在時域和頻域上都呈現離散的形式，將時域訊號的取樣變換為在離散時間傅利葉變換

（dtft）頻域的取樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散週期訊號的主值

序列。即使對有限長的離散訊號作dft，也應當將其看作經過週期延拓

成為週期訊號再作變換。在實際應用中通常採用快速傅利葉變換

以高效計算dft。

（1）物理意義

設x(n)是長度為n的有限長序列，則其傅利葉變換，z變換與離散傅利葉變換分別用以下三個關係式表示

x(e^jω)= ∑n=x(n) e^jωn

x(z)= ∑n=x(n)z^-n

x(k)= ∑n=x(n) e^-j2π/nnk

單位圓上的z變換就是序列的傅利葉變換

離散傅利葉變換是x(n)的頻譜x(ejω)在[0,2π]上的n點等間隔取樣,也就是對序列頻譜的離散化,這就是dft的物理意義

1.線性性質

如果x1（n）和x2(n)是兩個有限長序列，長度分別為n1和n2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)

式中a,b為常數，取n=max[n1,n2]，則y(n）地n點dft為

y(k)=dft[y(n)]=ax1(k)+bx2(k), 0≤k≤n-1;

2.迴圈移位特性

設x(n)為有限長序列，長度為n，則x(n)地迴圈移位定義為

y(n)=x((n+m))下標nr（n）

式中表明將x(n）以n為週期進行週期拓延得到新序列x'(n)=x((n))下標n，再將x'(n）左移m位，最後取主值序列得到迴圈移位序列y(n)

dft的乙個重要特點就是隱含的週期性,從表面上看,離散傅利葉變換在時域和頻域都是非週期的,有限長的序列,但實質上dft是從dfs引申出來的,它們的本質是一致的,因此dts的週期性決定dft具有隱含的週期性。可以從以下三個不同的角度去理解這種隱含的週期性

(1)從序列dft與序列ft之間的關係考慮x(k)是對頻譜x(ejω)在[0,2π]上的n點等間隔取樣，當不限定k的取值範圍在[0,n-1]時，那麼k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對頻譜x(ejω)的等間隔取樣。由於x(ejω)是週期的，這種取樣就必然形成乙個週期序列

(2)從dft與dfs之間的關係考慮。x(k)= ∑n=x(n) wnexp^nk，當不限定n時，具有週期性

(3)從wn來考慮，當不限定n時，具有週期性