完全揹包詳解（最優方法）

4、o(vn)的演算法

偽**

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for (int i = 1;i <= n;i++)

} 分析：這和01揹包的偽**很相似，在01揹包的**中，v變化的區間是逆序迴圈的，即[v,weight[i]]。而這裡，v變化的區間是順序迴圈的，即為[weight[i],v]。

原因：再次給出定義：

f[i][v]表示把前i件物品放入容量為v的揹包時的最大代價。

f[i-1][v-c[i]]表示

把前i - 1件物品放入容量為v的揹包時的最大代價.

在01揹包中，

v變化的區間是逆序迴圈的原因

：要保證

由狀態f[i-1][v-c[i]]遞推狀態

f[i][v]時，

f[i-1

][v-c[i]]沒有放入第i件物品

。之後，在第i迴圈時，放入一件第i件物品。

01揹包的方程：

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f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - weight[i]] + value[i])

在完全揹包中，

v變化的區間是順序迴圈的原因

：完全揹包的特點是每種物品可選無限件，在求解

加選第i種物品帶來的收益f[i][v]時，在狀態

f[i

][v-c[i]]中已經盡可能多的放入物品i了，此時在

f[i][v-c[i]]的基礎上，我們可以再次放入一件物品i，此時也是在不超過揹包容量的基礎下，盡可能多的放入物品i。

完全揹包的方程：

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f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i][v - weight[i]] + value[i]);

舉例：物品個數n = 3，揹包總容量為v = 5。

物品資訊：

完全揹包：

分析：i = 2，表示正在處理第2件物品。在求解f[2][4]時，如果要計算把第2件物品放入揹包後的代價時，我們需要知道f[2][2],此時f[2][2]中已經盡全力放入第2件物品了（已經放入一件）。此時此刻還可以在放入一件第2件物品，在揹包容量為4時，最多可以放入兩件第二件物品。

總結下，f[i][v]:表示在揹包容量為v時，盡全力的放入第i件物品的代價。f[i][v - weight[i]]:表示在揹包容量為v - weight[i]時，盡全力的放入第i件物品的代價。因此由f[i][

v - weight[i]

]轉換為f[i][v]時，也是在f[i][

v - weight[i]

]的基礎上有加入了一件物品i。

為了節省儲存狀態的空間，可以直接使用一維陣列儲存狀態。

**：迭代方程：

f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i][v - weight[i]] + value[i]);

[cpp]view plain

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#include

using

namespace std;

const

int n = 3;

const

int v = 5;//5

int weight[n + 1] = ;

int value[n + 1] = ;

int f[n + 1][v + 1] = ;

int completeknapsack()

for (int v = 0;v <= v;v++)

for (int i = 1;i <= n;i++)

} return f[n][v];

} int main()

**：迭代方程：

f[v] = max(f[v],f[v - weight[i]] + value[i]);

[cpp]view plain

copy

#include

using

namespace std;

const

int n = 3;

const

int v = 5;//5

int weight[n + 1] = ;

int value[n + 1] = ;

int f[v + 1] = ;

int completeknapsack()

} return f[v];

} int main()

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