揹包之01揹包、完全揹包、多重揹包詳解
ps:大家覺得寫得還過得去,就幫我把部落格頂一下,謝謝。
首先說下動態規劃,動態規劃這東西就和遞迴一樣,只能找區域性關係,若想全部列出來,是很難的,比如漢諾塔。你可以說先把除最後一層的其他所有層都移動到2,再把最後一層移動到3,最後再把其餘的從2移動到3,這是乙個直觀的關係,但是想列舉出來是很難的,也許當層數n=3時還可以模擬下,再大一些就不可能了,所以,諸如遞迴,動態規劃之類的,不能細想,只能找區域性關係。
1.漢諾塔
(引至杭電課件:dp最關鍵的就是狀態,在dp時用到的陣列時,也就是儲存的每個狀態的最優值,也就是記憶化搜尋)
要了解揹包,首先得清楚動態規劃:
動態規劃演算法可分解成從先到後的4個步驟:
1. 描述乙個最優解的結構;
2. 遞迴地定義最優解的值;
3. 以「自底向上」的方式計算最優解的值;
4. 從已計算的資訊中構建出最優解的路徑。
其中步驟1~3是動態規劃求解問題的基礎。如果題目只要求最優解的值,則步驟4可以省略。
揹包的基本模型就是給你乙個容量為v的揹包
在一定的限制條件下放進最多(最少?)價值的東西
當前狀態→ 以前狀態
首先我們把三種情況放在一起來看:
01揹包(zeroonepack): 有n件物品和乙個容量為v的揹包。(每種物品均只有一件)第i件物品的費用是c[i],價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
完全揹包(completepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包,每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i],價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量,且價值總和最大。
多重揹包(multiplepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用,每件費用是c[i],價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量,且價值總和最大。
比較三個題目,會發現不同點在於每種揹包的數量,01揹包是每種只有一件,完全揹包是每種無限件,而多重揹包是每種有限件。
先來分析01揹包:
01揹包(zeroonepack): 有n件物品和乙個容量為v的揹包。(每種物品均只有一件)第i件物品的費用是c[i],價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
這是最基礎的揹包問題,特點是:每種物品僅有一件,可以選擇放或不放。
用子問題定義狀態:即f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是:
把這個過程理解下:在前i件物品放進容量v的揹包時,
它有兩種情況:
第一種是第i件不放進去,這時所得價值為:f[i-1][v]
第二種是第i件放進去,這時所得價值為:f[i-1][v-c[i]]+w[i]
(第二種是什麼意思?就是如果第i件放進去,那麼在容量v-c[i]裡就要放進前i-1件物品)
最後比較第一種與第二種所得價值的大小,哪種相對大,f[i][v]的值就是哪種。
(這是基礎,要理解!)
這裡是用二位陣列儲存的,可以把空間優化,用一位陣列儲存。
用f[0..v]表示,f[v]表示把前i件物品放入容量為v的揹包裡得到的價值。把i從1~n(n件)迴圈後,最後f[v]表示所求最大值。
*這裡f[v]就相當於二位陣列的f[i][v]。那麼,如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]?(重點!思考)
首先要知道,我們是通過i從1到n的迴圈來依次表示前i件物品存入的狀態。即:for i=1..n
現在思考如何能在是f[v]表示當前狀態是容量為v的揹包所得價值,而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]標籤前一狀態的價值?
這就是關鍵!
1
2
3
for
i=1..n
for
v=v..0
f[v]=max;
測試資料:
10,3
3,44,5
5,6這個圖表畫得很好,藉此來分析:
c[v]從物品i=1開始,迴圈到物品3,期間,每次逆序得到容量v在前i件物品時可以得到的最大值。(請在草稿紙上自己畫一畫)
這裡以一道題目來具體看看:
題目:**在這裡:
分析:具體根據上面的解釋以及我給出的**分析。這題很基礎,看懂上面的知識應該就會做了。
完全揹包:
完全揹包(completepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包,每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i],價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量,且價值總和最大。
完全揹包按其思路仍然可以用乙個二維陣列來寫出:
同樣可以轉換成一維陣列來表示:
偽**如下:
1
2
3
for
i=1..n
for
v=0..v
f[v]=max
想必大家看出了和01揹包的區別,這裡的內迴圈是順序的,而01揹包是逆序的。
現在關鍵的是考慮:為何完全揹包可以這麼寫?
在次我們先來回憶下,01揹包逆序的原因?是為了是max中的兩項是前一狀態值,這就對了。
那麼這裡,我們順序寫,這裡的max中的兩項當然就是當前狀態的值了,為何?
因為每種揹包都是
無限的。當我們把i從1到n迴圈時,f[v]表示容量為v在前i種揹包時所得的價值,這裡我們要新增的不是前乙個揹包,而是當前揹包。所以我們要考慮的當然是當前狀態。
題目:**:
(分析**也是學習演算法的一種途徑,有時並不一定要看演算法分析,結合題目反而更容易理解。)
多重揹包
多重揹包(multiplepack): 有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用,每件費用是c[i],價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量,且價值總和最大。
這題目和完全揹包問題很類似。基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可,因為對於第i種物品有n[i]+1種策略:取0件,取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i種物品恰放入乙個容量為v的揹包的最大權值,則有狀態轉移方程:
這裡同樣轉換為01揹包:
普通的轉換對於數量較多時,則可能會超時,可以轉換成二進位制(暫時不了解,所以先不講)
對於普通的。就是多了乙個中間的迴圈,把j=0~bag[i],表示把第i中揹包從取0件列舉到取bag[i]件。
給出乙個例題:
題目:**:
轉至:
揹包 01揹包,完全揹包,多重揹包
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01揹包 完全揹包 多重揹包
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