最長公共子串行-------
比較兩個串的相似度有這樣一種方法：尋找第三個串s3，它的所有序列也都出現在s1 和s2中，且在三個串中出現的次序都相同，但不要求連續出現，可以找到的s3越長就可以認為s1s2相似度越大， 這就是**最長公共子串行**
的問題形式化定義如下：
給定乙個序列x= ，另乙個序列z= 滿足如下條件時稱為x的子串行：存在乙個嚴格遞增的x的下表序列對所有j = 1,2,3..k滿足 xij = zj。
例如 z= 是x= b,c,b,d,a,b>的乙個子串行
給定兩個序列x和y，如果z既是x的子串行也是y的子串行，則為x和y的公共子串行
如x= b,c,b,d,a,b>，ｙ＝ ＜ｂ，ａ，ｃ，ｆ，ｄ，ｂ＞，z= 是公共子串行
最長公共子串行問題：
給定兩個序列ｘ，ｙ求ｘ和ｙ長度最長的公共子串行（lcs問題）
s1：刻畫最長公共子串行
lcs問題具有最優子結構性質，子問題的自然分類對應兩個輸入序列的」字首」對；
字首的嚴謹定義是：給定乙個序列x= ，對i = 0,1,...,m定義x的第i字首為xi =
lcs的最優子結構：
令x = , y = 為兩個序列，z = 為x和y的任意lcs
1、如果xm = yn， 則zk = xm = yn且 zk-1是 xm-1 和yn-1的乙個lcs
2、如果xm ！= yn，那麼zk != xm意味著z是xm-1和y的乙個lcs
3、如果xm ！= yn，那麼zk != yn意味著z是x和yn-1的乙個lcs
s2:乙個遞迴解
要求解乙個或兩個子問題
如果xm = yn只要求xm-1 和yn-1的乙個lcs，然後把xm加到最後
如果不等，就要求兩個子問題xm-1和y的乙個lcs，x和yn-1的乙個lcs，找出比較長的乙個
先從遞迴的容易思考的角度去想
定義c[i , j]表示xi 和yj的lcs的長度，如果i = 0 || j = 0，那麼lcs長度肯定為0 ，可以得到：
0 i==0|| j==0
c[i , j] = c[i-1 , j-1]+1 i,j>0 && xi = yj
max(c[i, j-1], c[i-1 , j]) i,j>0&&xi!=yj
s3:計算lcs的長度
將遞迴思想用動態規劃實現
接受兩個序列為輸入，將c[i , j]的值儲存在表 c[0..m, 0..n]中，並按行主次序計算,過程還維護乙個**b[1..m, 1..n]幫助構造最優解 「x」為 x序列退一步的，『y』為y序列退一步的， 『d』表示兩者最後乙個一樣，遞迴找前面的
偽**如下：
```lcs（x，y）
else if(c[i-1, j]>= c[i, j-1])//x序列退乙個與當前y找的公共串長
else
}return c, b;
}```
s4：構造lcs
```print_lcs(b, x, i, j)
else if(b[i,j]=='x')print_lcs(b,x,i-1,j);
else print_lcs(b,x,i,j-1);
}```
起始呼叫是 （b, x, x.length, y.length）
最優二叉搜尋樹
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給定乙個n個不同關鍵字的已排序的序列
k=,用這些關鍵字構造一顆二叉搜尋樹。對每個關鍵字ki都有乙個概率pi表示其搜尋頻率，有些要搜尋的值可能不在k中，因此還有n+1個「偽關鍵字」d0, d1,d2..dn,d0 表示小於k1的值， dn表示大於kn的值，偽關鍵字di表示所有在關鍵字ki ki+1之間的值，每個偽關鍵字也有對應的qi。通常ki是內部的點，di是葉節點
對一顆搜尋樹搜尋一次的期望為
e[t] = (depth(ki)+1)*pi(i = 1...n 的和)+ (depth(di)+1)*
qi(i = 0...n求和)
搜尋代價最小的樹就是最優二叉搜尋樹
s1：最優二叉搜尋樹的結構
一棵最優二叉樹包含的子樹必然是作為例項的最優結構
s2:乙個遞迴演算法
子問題域為求解包含關鍵字ki..kj的最優二叉搜尋樹，i>=1&& j>=i-1&&j<=n(j = i-1時子樹不包含實際關鍵字，只包含偽關鍵字)。定義e[i,j]為包含關鍵字ki..kj的最優二叉搜尋中進行一次搜尋的期望代價，最終希望計算出e[1,n]
j=i-1的情況最簡單，子樹只包含偽關鍵字di-1， e[i, i-1] = qi-1
j>=i時，需要從ki...kj中選擇乙個根節點kr，然後構造一顆包含ki...kr-1的最優二叉搜尋樹做左子樹，kr+1...kj的最優二叉搜尋樹做右子樹。
當一顆子樹成為乙個結點的子樹時，每個結點的深度都增加了1，期望搜尋代價的增加值應為所有概率之和
對於包含ki...kj的子樹，所有概率之和為 w(i,j) = (pl）（l從i到j）+ql(l從i-1到j)
因此，若kr為包含關鍵字ki...kj的最優二叉搜尋樹的根節點，
e[i,j] = pr + e[i,r-1]+w(i,r-1)+e[r+1,j]+w(r+1,j),又 w(i,j) = w(i,r-1)+pr+w(r+1,j)
所以e[i,j] = e[i, r-1]+e[r+1,j]+w(i,j)直觀上就是左子樹的右子樹的加上增量
qi-i j=i-1
e[i,j] =
min i<=j
s3:計算最優二叉搜尋回溯的期望搜尋代價
用 root[i,j]來記錄這個子樹的根
對j>=i w[i,j] = w[i, j-1]+pj+qj
偽**如下：
```optimal_bst(p,q,n)
for(l=1;l<=n;l++)
for(i=1;i<=n-l+1;i++)}}
}```
LCS 最長公共子串行
問題描述 我們稱序列z z1,z2,zk 是序列x x1,x2,xm 的子串行當且僅當存在嚴格上 公升的序列 i1,i2,ik 使得對 j 1,2,k,有 xij zj。比如z a,b,f,c 是 x a,b,c,f,b,c 的子串行。現在給出兩個序列 x和 y，你的任務是找到 x和 y的最大公共子...
LCS最長公共子串行
求兩個字串的最大公共子串行問題 子串行的定義 若給定序列x 則另一串行z 是x的子串行是指存在乙個嚴格遞增下標序列使得對於所有j 1,2,k有 zj xij。例如，序列z 是序列x 的子序列，相應的遞增下標序列為。分析 用動態規劃做 1.最長公共子串行的結構 事實上，最長公共子串行問題具有最優子結構...
LCS最長公共子串行
lcs是longest common subsequence的縮寫，即最長公共子串行。乙個序列，如果是兩個或多個已知序列的子串行，且是所有子串行中最長的，則為最長公共子串行。複雜度對於一般的lcs問題，都屬於np問題。當數列的量為一定的時，都可以採用動態規劃去解決。解法動態規劃的乙個計算最長公共子串...