最大子陣列問題

最大子陣列問題，即給定乙個陣列a，找到a中和最大的非空連續子陣列。

例如：有陣列a = ，則其中的最大子陣列為a[2..3]，其和為7.

最後，分析了最大子陣列問題的擴充套件問題的求解方法。

2.1.1分治概述

分治策略中，我們遞迴的求解乙個問題，在每個問題中應用如下三個步驟：

1.分解將問題劃分為一些子問題，子問題的形式與原問題一樣，只是問題規模更小。

2.解決遞迴的求解出子問題。如果子問題的規模足夠小，則停止遞迴，直接求解。

3.合併將子問題的解組合成原問題的解。

2.1.2分治求解

要尋找陣列a的最大子陣列，使用分治策略則需要將陣列a劃分為兩個規模盡量相等的子陣列。然後考慮求解兩個子陣列a[low,…,mid]和a[mid+1,…,high]。那麼，a的任何連續子陣列a[i,…,j]所處的位置必然是以下三種情況之一：

跨越中點的最大子陣列–偽**：

find-max_crossing-subarray(a, low, mid, high)
left-sum = -∞
sum = 0
for i = mid downto low
sum = sum + a[i]
ifsum > left-sum
left-sum = sum
max-left = i
right-sum = -∞
sum = 0
for j = mid+1
to high
sum = sum + a[j]
ifsum > right-sum
right-sum = sum
max-right = j
return(max-left, max-right, left-sum + right-sum)

第1-7行求出了左半部分的最大子陣列，因為必須包含mid，第3-7行的for迴圈從mid開始，遞減到low。left-sum儲存目前為止找到的最大和，sum儲存a[i,…mid]中的所有值，max-left記錄下表i。同理，第8-14行求出了右半部分的最大子陣列。

注意，如果a[low,…,high]包含n個元素，則呼叫find-max_crossing-subarray將花費θ(n)的時間.

最大子陣列的分治演算法–偽**：

find-maximun-subarray(a, low, high)
if high == low
return (low, high, a[low])
else
mid = (low + high) / 2
(left-low, left-high, left-sum) = find-maximun-subarray(a, low, mid)
(right-low, right-high, right-sum) = find-maximun-subarray(a, mid + 1, high)
(cross-low, cross-high, cross-sum) = find-max_crossing-subarray(a, low, mid, high)
return (max(left-sum, right-sum, cross-sum))

第1行測試基本情況，即子陣列只有乙個元素的情況，該測試很重要。

第4-5行遞迴求解左右子陣列中的最大子陣列，第6-7行完成合併工作。

該分治演算法的執行時間t(n) = θ(nlgn)。

當我們加上乙個正數時，和會增加；當我們加上乙個負數時，和會減少。如果當前得到的和是個負數，那麼這個和在接下來的累加中應該拋棄並重新清零，不然的話這個負數將會減少接下來的和。

基於這樣的思路，我們有**：

/* 最大子陣列 返回起始位置 */
int maxsum_subarray(int * arr, int size, int & start, int & end)
else
if(sum > maxsum)
}return maxsum;
}

該演算法的執行時間為t(n) = o(n)，且空間上為o(1)。

ps：參考自

如果陣列arr[0],…,arr[n-1]首尾相鄰，也就是允許找到一段數字arr[i],…,arr[n-1],arr[0],…,a[j]，使其和最大，該如何？

程式設計之美解法：這個問題的解可以分為兩種情況：

1) 解沒有跨越arr[n-1]到arr[0] （原問題）

2) 解跨越arr[n-1]到arr[0]

分析有：

陣列a = 中的最大子陣列為【1 | 3， 5， -1， 2】,即去掉了-2.

陣列b = 中的最大子陣列為【8 | 60， 3， -1， -6】, 即去掉了-10.

這兩個數都是兩個陣列中「最小」的。

所以，我們找最大子陣列的對偶問題——最小子陣列，有了最小子陣列的值，總值減去它即可得到跨界的最大子陣列（如果結果確實跨界的話）。

因此，在允許陣列跨界（首尾相鄰）時，最大子陣列的和為下面的最大值。

maxsum=

**為：

/* 如陣列首尾相鄰 */
int maxsum_endtoend(int * arr, int
size)
int maxsum_adj = -inf;             /* 跨界的最大子陣列和 */
//以下求最小子陣列和
int totalsum = 0;                  /* 總值 */
int minsum = inf;
int tmpmin = 0;
for(int i = 0; i < size; ++i)      /* 最小子陣列和 道理跟最大是一樣的 */
else
if(tmpmin < minsum)
totalsum += arr[i];
}maxsum_adj = totalsum - minsum;
return maxsum_notadj > maxsum_adj ? maxsum_notadj : maxsum_adj;
}

此時，該演算法的時間複雜度為t(n) = o(n)。

最大子陣列問題

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