矩陣快速冪

矩陣的快速冪是用來高效地計算矩陣的高次方的。將樸素的o（n）的時間複雜度，降到log（n）。

這裡先對原理（主要運用了矩陣乘法的結合律）做下簡單形象的介紹：

一般乙個矩陣的n次方，我們會通過連乘n-1次來得到它的n次冪。

但做下簡單的改進就能減少連乘的次數，方法如下：

把n個矩陣進行兩兩分組，比如：a*a*a*a*a*a => (a*a)*(a*a)*(a*a)

這樣變的好處是，你只需要計算一次a*a，然後將結果(a*a)連乘自己兩次就能得到a^6，即(a*a)^3=a^6。算一下發現這次一共乘了3次，少於原來的5次。

其實大家還可以取a^3作為乙個基本單位。原理都一樣：利用矩陣乘法的結合律，來減少重複計算的次數。

以上都是取乙個具體的數來作為最小單位的長度，這樣做雖然能夠改進效率，但缺陷也是很明顯的，取個極限的例子（可能有點不恰當，但基本能說明問題），當n無窮大的時候，你現在所取的長度其實和1沒什麼區別。所以就需要我們找到一種與n增長速度」相適應「的」單位長度「，那這個長度到底怎麼去取呢？？？這點是我們要思考的問題。

有了以上的知識，我們現在再來看看，到底怎麼迅速地求得矩陣的n次冪。

既然要減少重複計算，那麼就要充分利用現有的計算結果咯！~怎麼充分利用計算結果呢？？？這裡考慮二分的思想。。

大家首先要認識到這一點：任何乙個整數n，都能用二進位制來表示。。這點大家都應該知道，但其中的內涵真的很深很深（這點筆者感觸很深，在文章的最後，我將談談我對的感想）！！

計算機處理的是離散的資訊，都是以0,1來作為訊號的處理的。可想而知二進位制在計算機上起著舉足輕重的地位。它能將模擬訊號轉化成數碼訊號，將原來連續的實際模型，用乙個離散的演算法模型來解決。好了，扯得有點多了，不過相信這寫對下面的講解還是有用的。

回頭看看矩陣的快速冪問題，我們是不是也能把它離散化呢？比如a^19 => （a^16）*（a^2）*（a^1），顯然採取這樣的方式計算時因子數將是log(n)級別的(原來的因子數是n)，不僅這樣，因子間也是存在某種聯絡的，比如a^4能通過(a^2)*(a^2)得到，a^8又能通過(a^4)*(a^4)得到，這點也充分利用了現有的結果作為有利條件。下面舉個例子進行說明：

現在要求a^156,而156(10)=10011100(2)

也就有a^156=>(a^4)*(a^8)*(a^16)*(a^128) 考慮到因子間的聯絡，我們從二進位制10011100中的最右端開始計算到最左端。細節就說到這，下面給核心**：

1
while
(n)2

裡面的乘號，是矩陣乘的運算，res是結果矩陣。

第3行**每進行一次，二進位制數就少了最後面的乙個1。二進位制數有多少個1就第3行**就執行多少次。

好吧，矩陣快速冪的講解就到這裡吧。在文章我最後給出我實現快速冪的具體**（**以3*3的矩陣為例）。

現在我就說下我對二進位制的感想吧：

我們在做很多」連續「的問題的時候都會用到二進位制將他們離散簡化

1.多重揹包問題

2.樹狀陣列

3.狀態壓縮dp

……………還有很多。。。究其根本還是那句話：化連續為離散。。很多時候我們並不是為了解決乙個問題而使用二進位制，更多是時候是為了優化而使用它。所以如果你想讓你的程式更加能適應大資料的情況，那麼學習學習二進位制及其演算法思想將會對你有很大幫助。

最後貼出一些**供大家學習，主要起演示的效果：

#include #include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
intn;
struct
matrix
origin,res;
matrix multiply(matrix x,matrix y)}}
return
temp;
}void
init()
printf("\n
");}
printf("\n
");memset(res.a,
0,sizeof
(res.a));
res.a[
0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1;                  //
將res.a初始化為單位矩陣 
}void calc(int
n)     printf(
"%d次冪結果如下：\n
",n);
for(int i=0;i<3;i++)
printf("\n
");}int
main()
return0;
}

分類:

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演算法and資料結構

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快速冪（矩陣快速冪）

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