erasure code 可以應用於分布式儲存系統中，替代多份資料拷貝的資料冗餘方式，從而可以提高儲存空間利用率。此外， erasure code 還可以應用於傳統 raid 系統中，增加資料冗餘度，支援多塊盤同時發生故障，從而可以提高資料可靠性。
採用範德蒙矩陣可以構建 erasure code （關於範德蒙矩陣的編譯碼方法，可以參考文章《 基於範德蒙矩陣的 erasure code 技術詳解 》），其生成矩陣表示如下：
採用範德蒙矩陣作為編碼矩陣的問題在於演算法複雜度太高，其解碼演算法複雜度為 o（ n^3 ）。採用目前的處理器技術，還是會影響 io 的效能，增加 io 延遲。因此，找到一種更加合理的編碼矩陣，降低演算法複雜度是 erasure code 得以廣泛應用的乙個前提條件。
基於柯西矩陣的李德 - 所羅門（ rs ）碼是在範德蒙矩陣的 rs 碼基礎上作了兩點重要改進：
1， 用柯西矩陣來代替範德蒙矩陣。由於範德蒙矩陣求逆運算的複雜度為 o （ n^3），而柯西矩陣求逆運算的複雜度僅為 o （ n^2 ）。因此，採用柯西矩陣可以降低解碼的運算複雜度。
2， 採用有限域二進位制矩陣的方式來提高運算效率，直接將乘法轉換成 xor 邏輯運算，大大降低了運算複雜度。
大家知道，柯西矩陣可以描述如下：
x （ i ）和 y （ i ）都是迦羅華域 gf （ 2^w ）中的元素。柯西矩陣有兩個特點：第一，任意乙個子方陣都是奇異矩陣，存在逆矩陣；第二，柯西矩陣在迦羅華域上的求逆運算，可以在 o （ n^2 ）的運算複雜度內完成。
採用柯西矩陣進行 erasure code 編碼過程描述如下：
其運算過程和范德蒙矩陣編碼過程是一樣的，只不過採用柯西矩陣替換了範德蒙矩陣。從運算過程來看，編碼過程是迦羅華域的系列乘法、加法運算。
柯西解碼方程描述如下：
當任何乙個資料元 d （ i ）遭到損壞時，需要通過解碼過程進行資料恢復。資料解碼過程可以分成如下幾大步驟：
1， 選取剩餘有效的資料塊，構成乙個解碼列向量。例如， d1 、 d3 資料塊損壞了，那麼可以選取剩餘資料 d0 、 d2 、 c0 、 c2 作為解碼列向量。
2， 摘取生成矩陣（柯西矩陣）中解碼列向量所對應的行，構成方陣 a ，該矩陣的逆矩陣就是解碼生成矩陣 inv(a) 。
3， 解碼生成矩陣 inv(a) 和解碼列向量的乘積就可以得到丟失的資料 d1 和 d3 。
從整個過程來看，矩陣求逆過程是最大的運算開銷。解碼過程和范德蒙矩陣編碼是一樣的，但是柯西矩陣的求逆運算複雜度要低於範德蒙矩陣，因此，具有更好的效能。
從編譯碼過程來看，柯西編譯碼最大的運算量是乘法和加法運算。在範德蒙編碼的時候，我們可以採用對數 / 反對數表的方法將乘法運算轉換成了加法運算，並且在迦羅華域中，加法運算轉換成了 xor 運算。
柯西編譯碼為了降低乘法複雜度，採用了有限域上的元素都可以使用二進位制矩陣表示的原理，將乘法運算轉換成了迦羅華域「與運算」和「 xor 邏輯運算」，提高了編譯碼效率。
從數學的角度來看，在迦羅華有限域中，任何乙個 gf （ 2^w ）域上的元素都可以對映到 gf （ 2 ）二進位制域，並且採用乙個二進位制矩陣的方式表示 gf （ 2^w ）中的元素。例如， gf （ 2^3 ）域中的元素可以表示成 gf （ 2 ）域中的二進位制矩陣：
圖中，黑色方塊表示邏輯 1 ，白色方塊表示邏輯 0 。通過這種轉換， gf （ 2^w ）域中的陣列就可以轉換成 gf （ 2 ）域中的二進位制陣列。生成矩陣的陣列轉換表示如下：
在 gf （ 2^w ）域中的生成矩陣為 k* （ k+m ），轉換到 gf （ 2 ）域中，變成了(w*k) * (w*(k+m)) 二進位制矩陣。採用域轉換的目的是簡化 gf （ 2^w ）域中的乘法運算。在 gf （ 2 ）域中，乘法運算變成了邏輯與運算，加法運算變成了 xor 運算，可以大大降低運算複雜度。和范德蒙編譯碼中提到的對數 / 反對數方法相比，這種方法不需要構建對數 / 反對數表，可以支援 w 為很大的 gf 域空間。採用這種有限域轉換的方法之後，柯西編碼運算可以表示如下：
可以說柯西編碼是在範德蒙編碼基礎之上的一種優化。其主要有兩點：第一降低了矩陣求逆的運算複雜度；第二通過有限域轉換，將 gf （ 2^w ）域中的元素轉換成二進位制矩陣，簡化了乘法運算。所以，柯西編譯碼要優於範德蒙矩陣的方法，柯西編碼的運算複雜度為 o （ n(n- m) ），解碼複雜度為 o （ n^2 ）。
基於柯西矩陣的Erasure Code技術詳解
時間2014 05 12 22 16 47 儲存之道 原文erasure code 可以應用於分布式儲存系統中，替代多份資料拷貝的資料冗餘方式，從而可以提高儲存空間利用率。此外，erasure code 還可以應用於傳統 raid系統中，增加資料冗餘度，支援多塊盤同時發生故障，從而可以提高資料可靠性...
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