一、群的定義
群定義在二元組(s,
⊕ )上，s是乙個集合，
⊕ 是乙個運算。要求二元組滿足群公理：
1、封閉性：∀x
,y∈s
,x⊕y
∈s(x,y可以相等)
2、結合律：∀a
,b,c
∈s,a
⊕b⊕c
=a⊕(
b⊕c)
(a,b,c可以相等)
3、單位元：∃e
∈s,∀
x∈s,
e⊕x=
x⊕e=
x (x,e可以相等，我們往往用e代表單位元，也叫么元)
4、逆元：∀x
∈s,∃
y∈s,
x⊕y=
y⊕x=
e (x,y可以相等，我們稱y為x的逆元，記作x−
1 )
二、一些比較簡單的想法。 如果s
⊕x=e
，我們稱s是x的左逆元；如果x⊕
t=e ,我們稱t是x的右逆元。
若x有左逆元，則x有相等且唯一的左右逆元；在s有限時，x有逆元與對x有消去律等價，而在s無限時消去律是逆元存在的必要條件。
證明： ①若∀
a∈s,
∃s,s
⊕a=e
，則∀a
∈s,a
⊕s=e
。即a的左逆元就是a的右逆元。 設t
⊕s=e
，則a⊕
s=(t
⊕s)⊕
(a⊕s
)=t⊕
(s⊕a
)⊕s=
t⊕s=
e .
②在有限集合中，逆元存在於消去律存在等價（即我們把群公理第四條換為∀a
,x,y
∈s,a
x=ay
<=
>x=
y ）。
消去律：x⊕
a=y⊕
a 與x=
y 互為充要條件。
（消去律=>逆元）只需在等式兩邊⊕a
−1即可。
（逆元=>消去律）對於a，若∀x
,y∈s
,ax=
ay<=
>x=
y ，則令s′
=ax|
x∈s ，因為ax互不相同，所以|s
′|=|
s|，又因為封閉性，所以s′
⊂s，即s′
=s，那麼必然∃e
∈s′ ，即∃x
∈s,a
x=e ，於是我們就找到了a的逆元。
但當s無限時，消去律是逆元的必要條件。因為這樣的話我們無法通過比較集合大小來判斷集合相等了，無限集合的子集的大小是可能與自己相等的，比如(n
∗,∗)
，它滿足封閉律、結合律、單位元、消去律，但是它並沒有逆元。
（upd：這裡我之前沒有考慮到無限群的情況以為必然是等價的。。感謝xiaoyimi的指正！）
③a的逆元唯一。
若a有兩個逆元s,
t,s≠
t,a⊕
s=s⊕
a=a⊕
t=t⊕
a=e ，則s=
s⊕(a
⊕t)=
(s⊕a
)⊕t=
t ，與假設不符。
也就是說，實際上群公理第四條可以寫成：∀x
∈s,∃
y∈s,
y⊕x=
e 。
三、常見的例項 1、(
z,+)
,(q,
+),(
r,+)
，單位元是0，x−
1=−x
2、(z
n,+modn)
(zn=
) .單位元是0，x−
1=n−
x 。 3、(
z∗n,
∗modn)
(z∗n
=)(n
>1)
。 為什麼有逆元呢（當然我們可以通過尤拉定理知道，但是我想給出一種不依賴於尤拉定理的想法），因為z∗
n 中有消去律存在。 若a
x=ay
modn
，則n∣
∣a|x
−y| ，a,
x,y∈
z∗n ，所以x=
y .
4、置換群：群中元素是置換（雙射），
⊕ 是置換（雙射）的復合。項鍊、圖同構（常見於各種化學物質）。
四、拉格朗日定理
內容：若有限群(s
,⊕) 有子群(s
′,⊕)
，則|s
′|∣∣
|s| .
證明：需要引入陪集的概念，s』關於a∈
s 的右陪集定義為s′
a=，左陪集為as
′=。
那麼對於a,
b∈s ,設s′
a∩s′
b≠∅ ，則∃x
,y∈s
′,x⊕
a=y⊕
b,b=
(y−1
⊕x)⊕
a,∴∀
z∈s′
,z⊕b
=z⊕y
−1⊕x
⊕a=(
z⊕y−
1⊕x)
⊕a,注意到有z⊕
y−1⊕
x∈s′
,∴∀x
∈s′b
,x∈s
′a,∀
x∈s′
a,x∈
s′b,
∴s′a
=s′b
所以對於s′
的每乙個陪集，大小必然與|s
′|相等。而⋃x
∈ss′
x=s ，所以|s
′|∣∣
|s| .
推論：
尤拉定理：考慮群(z
∗n,∗
modn),
由前面關於逆元的討論可知，數列
有迴圈節||
=x,a
x=1 ，且(,
∗modn)
顯然是乙個子群，所以x∣
∣|z∗
n|，即x|
ϕ(n)
。 五、軌道-穩定化子定理
我們考慮置換群g，其中每乙個元素均是對m中元素的置換f(
x)=y
(x,y
∈m) ，則讓m中元素x不變的置換顯然構成了乙個子群st
ab(x
)=(,
∗)，我們稱這個集合為x的穩定化子。
而x通過g中的置換能變成的元素集合我們稱為x的軌道or
bit(
x)= 。
那麼其實顯然，orbit(x)就是stab(x)的陪集數，類似上面我們對拉格朗日定理的證明，可以得到|s
tab(
x)||
orbi
t(x)
|=|g
| 六、burnside『s引理
這個引理是用來求m中本質不同的元素個數，如果∃f
∈g,f
(x)=
y ，則稱x與y是本質相同的。所以就是求m中軌道數。
而m中軌道數可以這樣寫：∑x
∈m1|
orbi
t(x)
| (這樣的話，每個x的軌道有|orbit(x)|個元素，而每個元素都貢獻了1|
orbi
t(x)
| ，所以每條軌道都會被計算一次)=∑
x∈m|
stab
(x)|
|g|
（軌道-穩定化子定理）=∑
f∈g|
mf||
g|=∑
f∈g|
||g|
（本來我們考慮的是對於m中的每乙個元素，有多少置換讓它們不變；那它顯然等於對於g中的每乙個置換，它能讓多少m中的元素不變）
burnside』s引理首先找到了軌道數與軌道長度之間的關係，然後通過軌道-穩定化子定理將其與g聯絡起來，然後改變列舉量。它是用來解決那種置換較少或較便於計算，元素情況比較複雜的問題。
群論學習筆記
大量參考了 xyx 神仙的博文，在此獻上真摯的謝意。text 引理 s 是乙個有限集合，g 是乙個作用在 s 上的置換群。s g 表示乙個組合類，其中元素是 s 在 g 作用下的等價類。x g 表示 s 中元素 x 在 g 作用下所屬的等價類。s g frac sum sum g x x 證明 fo...
學習筆記 群論入門
寫在前面 群真的太強大了！感覺學會了群就學會了什麼不得了的東西 233 比較簡單的來講，所謂群 rm 指的是一類特殊的集合，這個集合包含一組元素和大於等於乙個的運算，比如乘法群救記作 g,cdot 那麼平凡來講，群滿足下列幾個性質 我們假定乙個平凡的群 g 支援 color 這種運算 那麼也就是說的...
牛頓迭代 泰勒展開 群論選講
牛頓迭代 泰勒展開 群論選講 我就想寫乙個題,發現我要補三個知識點。牛頓迭代 用於求解方程 示例求解平方根,求解 x 2 5 考慮這個怎麼求,那麼把這個東西看成乙個函式 f x x 2 5 那麼就是找 f x 當 f x 0 時 x 的取值,這個函式是乙個拋物線,就是找他和 x 的焦點 先找到 2 ...