最大連續和

這個問題對我來說還挺難的，當初做dp時水過去了，但沒徹底理解，這次打算好好分析一下，爭取徹底搞懂。

首先，像：1 -1 2 2 3 -3 4 -4 5 -5這樣的數列，想要找連續最大和，可以有很多種方法，從最慢的列舉o(n^3)到最快的動態規劃o(n)，毫無疑問，我們要選擇複雜度低的演算法。所以我這裡就只分析兩種：分治法o(nlogn)和動態規劃o(n)。

分治法一般分為如下三個步驟：

劃分問題：把問題的例項劃分成子問題。

遞迴求解：遞迴解決子問題。

合併問題：合併子問題的解得到原問題的解

要求連續最大和，最大的難點在於怎麼處理負數，我們將數列拆分成兩段後，遞迴得到兩段中對應的最大值，那麼區間中對應的單獨的最大和已經求出來了，接下來要找分界點在區間中間的最大和，那麼就分別從分界點從左和右找最大和，加起來與單獨的最大和比較，這樣就可以求出總的最大和。

int maxsum(int x, int y)			//區間在[x,y)
v = 0; right = a[m];
for (int i = m; i < y; i++)		//從分界點右邊找連續的最大和
return max(maxs, left + right);		//兩邊單獨的最大值與分界點兩邊合併後最大值比較，主要考慮負數影響
}

動態規劃的要點是用乙個陣列儲存過程中的狀態，有三種方法：

第一種比較簡單，只要簡單的按照正負思考即可，但是最後需要遍歷一遍。用乙個b[n]陣列儲存狀態，如果b[k-1]<0，那麼加乙個負數肯定會減少，所以直接從a[k]開始，b[k]=a[k]；如果b[k-1]>0，那麼加乙個正數肯定變大，所以b[k]=b[k-1]+a[k]。

狀態轉移方程為b[k]=max（b[k-1]+a[k]，a[k])

void dp()
printf("%d\n", max);
}

第二種方法就比較難想到了，但好處是最後不用遍歷一遍，可以考慮陣列的第乙個元素，以及最大的一段陣列(a[i], ..., a[j]),和a[0]的關係，有以下三種情況：

1. 當0 = i = j 時，元素a[0]本身構成和最大的一段，all[0]=a[0]

2. 當0 = i < j 時，和最大的一段以a[0]開始，all[0]+start[1]

3. 當0 < i 時，元素a[0]和最大的一段沒有關係，all[0]=all[1]

從上面3中情況可以看出。可以將乙個大問題(n個元素陣列)轉化為乙個較小的問題(n-1個元素的陣列)。

假設已經知道(a[1], ...,a[n-1])中和最大的一段陣列之和為all[1],並且已經知道(a[1],...,a[n-1])中包含a[1]的和最大的一段陣列為start[1]。那麼不難看出 (a[0], ..., a[n])中問題的解all[0] = max。這樣all[0]表示的就是總的0~n的最大和。倒序dp即可。

start陣列記錄的就是包括當前值的連續最大和，比如1，-2，3，-2，start[3]就截斷從3開始。而all陣列則考慮要不要加a[k]，說白了，就是三種情況：當前值不加，只有乙個當前值，當前值加上前面的包含前乙個值的最大和（要連續）。

狀態轉移方程為：all[k]=max(all[k+1]，a[k]，a[k]+start[k+1])

void dp()
printf("%d\n", all[0]);
}

第三種結合了前兩種的優點，不用遍歷而且便於理解：

首先需要乙個dp[k]儲存第k個數之前的最大連續和，然後還要乙個sum和temp，sum用來不斷累加a[k]，如果sum>temp，就把temp更新為sum，並且如果sum<0，將sum重新賦值為0。

void dp()
}

最大連續和

最大連續和

最大連續和

最大連續和

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