學習筆記群論入門

寫在前面：群真的太強大了！感覺學會了群就學會了什麼不得了的東西$233$

比較簡單的來講，所謂群$(\rm)$指的是一類特殊的集合，這個集合包含一組元素和大於等於乙個的運算，比如乘法群救記作$(g,\cdot)$。那麼平凡來講，群滿足下列幾個性質：

我們假定乙個平凡的群$g$支援$\color$這種運算：

那麼也就是說的直白點吧，對所有的元素，做完該群所帶有的帶有結合律的運算之後，所得結果仍然屬於該群且一定存在單位元，對於每個元素存在運算逆元。

那我們不妨定義一些其他的：

結合幾個例子來解釋一下：

比如以下是幾個乘法群$$(q\setminus,\cdot)~, (r\setminus~, \cdot)

,~ (c\setminus,\cdot)$$

他們都不能包括$0$這個元素，因為這個元素顯然是沒有逆元的。

或者乙個好玩兒的乘法群$$(~~, ~~\cdot)$$或者是所有非奇異的$n$階矩陣也可以組成乙個乘法群。

或者是$$(z,+)$$這個群比較經典$233$，其中我們借助這個來練習一下如何判斷是否成群,首先思考，這個東西一定是封閉的，因為最後會收斂於$\pm \inf$所以一定封閉，其次運算是一定符合結合律的，然後單位元肯定就是$0$，最後逆元的話，對於$n$那就一定是$-n$了（緊扣定義即可）。

$extra \ \ things :$

以下是兩種復合抽代資料結構（名字自己起的$233$）：

舉例子：$z$, $r[x]$，即整數環和$r$上的所有多項式的集合。

舉例子：$q,r,c$即有理數域、實數域和複數域。

好的，那我們嘗試證明兩個命題：

設有兩個單位元$e_1,e_2$

那麼$e_1=e_1e_2=e_2$，其實是乙個$233$

以乘法群為例，假設$a$有兩個逆元$b,c$，那麼一定會有$$b = b \cdot(a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = c$$

顯然也是同乙個。

\[(ab)^=b^a^

\]很顯然，證明如下：

\[ab(b^a^)=b^a^)ab=e

\]那麼之後我們討論週期

對於乙個元素$a \in g$而言，我們記$a$的週期是$o(a)$

$o(a)$表示最小正整數，使得$a^=e$

本節所指「群」沒有特別說明便均為有限群

不妨先給出子群的淺顯版定義：

那麼從而我們可以定義生成子群這個東西：

生成子群：若$s \subseteq g$，並且對於運算$c$而言，$(g,c)$也是乙個群，那麼就稱$g$為集合$s$在運算$c$下的生成子群。集合$s$的生成子群用表示

這之後我們就可以定義陪集這個概念

陪集一般上包含左陪集和右陪集。

$233$也可以叫做傍集或者旁系之類的~

那麼我們這個地方先只研究右陪集$233$

$lemma1:$

我們首先證明一點：$|h|=|h_a|$，其中長得像絕對值符號的豎線表示的是有限群的群中元素數量。

這個其實比較顯然，因為事實上群都是定義在非可重集上面的。

較為嚴謹的證明如下：

$proof.$

對於$h \leq g$，如果$h_1\neq h_2 \in h$，那麼$h_1a\neq h_2a$

反證：若$h_1a=h_2a$，$h_1aa^=h_2aa^,~h_1=h_2$矛盾

對於不同的$h$，$ha$互不相同，因此$|h_a|=|h|$

$lemma2:$

之後我們再證明一些好玩兒的：

命題：$h_a=h_b$當且僅當$ab^\in h$

看起來好像不是那麼好玩……

$proof.$

若$h_a=h_b$，則$ea\in h_a$，即$a\in h_b$，那麼$\exists h\in h,~a=hb$,那麼$ab^=h$

若$ab^\in h$，那麼$ha=ha(b^b)=(hab^)b\in hb$，因此$h_a\subseteq h_b$

$hb=hb(a^a)=h(ab^)^a\in h_a$，故$h_b\subseteq h_a$

因此$h_a=h_b$

那麼我們還可以有乙個推論：

若$h_a\neq h_b$，那麼$h_a\cap h_b = \emptyset$

$proof.$

假設$x\in h_a\cap h_b$，則$\exists h_1,h_2\in h$，$h_1a=h_2b=x$ ，那麼$ab^=h_1^h_2\in h$，那麼$h_a=h_b$，矛盾

從而還可以有個定理（$lagrange$定理）：

由於$\forall g\in g$， $g\in hg$，所以$g$中每個元素都在某個傍集中。用$[g:h]$表示不同的傍集數，那麼

\[|g|=|h|\cdot [g:h]

\]也就是說$|h|$是$|g|$的約數。

這個其實很顯然，因為不同元素的傍集如果不同就不會有交集，如果相同就不會被考慮到$[g:h]$裡面。所以結論平凡。

但是其實這是個很偉大的定理$233$

好的，那麼從而就會有一些神奇的推論：

**推論一：對於乙個元素$a \in g$，$g$是乙個群，那麼$o(a) | g$ **

$proof.$因為$o(a) = ||$，由我們剛剛證明的定理可以得出$o(a) | g$

推論二：對任意的$a \in g,a ^ = e$

$proof.$ 比較顯然，由推論一可知。

推論三：若$|g|$為素數，則$g$是迴圈群

$proof.$ 若$a \neq e$，那麼會有$||$整除$|g|$。而由於$|g|$是個素數，所以只有可能$|g| = ||$ ，所以$g$是個迴圈群。

接下來我們真的要去做些好玩的了~

如果$p$為素數，那麼存在$a^ \equiv 1 (\mod p) $

考慮質數$p$，考慮群$g=\$，群的運算定義為對$p$取模的乘法，那麼由$lagrange$可知：

\[\forall a\in g, a^=1(\mod p)

\]$a^=1 (\mod n)$

考慮$n\in n^$，考慮群$g=\$,群的運算定義為對$n$取模的乘法

那麼會有$|g|=\phi(n)$，從而有：

\[\forall a\in g, a^=1 (\mod n)

\]沒錯，證明十分的簡潔美觀。

作者被這種神奇的證明給折服了$sto$.

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