大量參考了 xyx 神仙的博文，在此獻上真摯的謝意。
\(\text\) 引理：
\(s\) 是乙個有限集合，\(g\) 是乙個作用在 \(s\) 上的置換群。
\(s/g\) 表示乙個組合類，其中元素是 \(s\) 在 \(g\) 作用下的等價類。\(x/g\) 表示 \(s\) 中元素 \(x\) 在 \(g\) 作用下所屬的等價類。
\[|s/g| = \frac \sum_ \sum_ [g(x) = x]
\]證明：
\[\forall f,g \in g ,f(x) = g(x) \leftrightarrow (f^ \circ g)(x) = x
\]顯然吧？
接下來嘗試證明
\[\forall x\in s,(\sum_[g(x)=x]) \cdot |x/g| = |g|
\]挺顯然的
考慮所有與置換 \(f\) 等價的置換 \(g\) ，即滿足 \(f(x) = g(x)\) 的所有 \(g\) 。
每個 \(g\) 對應乙個置換 \(\alpha=f^ \circ g\) ，其滿足 \(\alpha(x)=x\)，那麼 \(g\) 的數量就是 \(\sum_[\alpha(x)=x]\)
也就是說，對於任意置換 \(f\) ，與其等價的置換數為 \(\sum_ [\alpha(x)=x]\) 。
而不等價的置換數為 \(|x/g|\) 。二者相乘得到總置換數 \(|g|\) 。
現在來考慮證明 \(\text\) 引理：
嘗試對滿足 \(f(x)=x\) 的 \((f,x)\) 計數，可以得到
\[\sum_ \sum_ [f(x)=x] = \sum_ \sum_ [f(x)=x]=\sum_ \frac
\]\[\frac\sum_ \sum_[f(x)=x] = \sum_ \frac
\]我艹右式中乙個等價類的貢獻為 \(1\) 。
\[|s/g|=\frac \sum_\sum_ [f(x) = x]
\]於是我們得到了 \(\text\) 引理。
\(\text\) 定理：
\(b\) 是乙個組合類，\(s\) 是乙個有限集合，上面有乙個置換群 \(g\) 。
\(b^s\) 表示所有 $ s\to b$ 的對映，稱這種對映為染色。
\(b\) 中元素 \(\beta\) 的權值為 \(w(\beta)\) ，乙個染色 \(\phi\) 的權值等於 \(\prod_\limits w(\phi(x))\)
\(f_t(g)\) 表示置換 \(g\) 中長度為 \(t\) 的迴圈個數。
\[\sum_ w(\phi) = z(g;\sum_ w(\beta),\cdots , \sum_ w^(\beta))
\]\[z(g;x_1,x_2,\cdots,x_) = \frac \sum_ x_1^ \cdot x_2^ \cdots x_^(g)}
\]不會證。
取 \(w(\beta) = 1\) 可以得到市面上流行的款式：
\[|b^s/g| = \frac \sum_ |b|^
\]不用證。
取 \(g\) 為任意置換的集合 \(r\) 可以得到這麼乙個大可愛：
\[\sum_^ \sum_/r_i)} w(\phi) = \exp(\sum_^ \frac w^i(\beta)})
\]不會證。
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