DP 硬幣問題

動態規劃演算法通常基於乙個遞推公式及乙個或多個初始狀態。當前子問題的解將由上一次子問題的解推出。使用動態規劃來解題只需要多項式時間複雜度，因此它比回溯法、暴力法等要快許多。動態規劃也是面試筆試題中的乙個考查重點，當閱讀乙個題目並且開始嘗試解決它時，首先看一下它的限制。如果要求在多項式時間內解決，那麼該問題就很可能要用dp來解。遇到這種情況，最重要的就是找到問題的「狀態」和「狀態轉移方程」。(狀態不是隨便定義的，一般定義完狀態，你要找到當前狀態是如何從前面的狀態得到的，即找到狀態轉移方程)如果看起來是個dp問題，但你卻無法定義出狀態，那麼試著將問題規約到乙個已知的dp問題。

這裡先說明乙個最簡單的動態規劃例項：硬幣問題。後續還會給出更多的例項，例如：最長公共子串行，最長公共子串，最長遞增子串行，字串編輯距離等。動態規劃的關鍵就是找出「狀態」和「狀態轉移方程」。

硬幣問題：給你一些面額的硬幣，然後給你乙個值n，要你求出構成n所需要的最少硬幣的數量和方案。分析：這個問題可以嘗試用貪心演算法去解決，先從面額最大的硬幣開始嘗試，一直往下找，知道硬幣總和為n。但是貪心演算法不能保證能夠找出解（例如，給,2,3,5,然後n=11）。我們可以換個思路，我們用d(i)表示求總和為i的最少硬幣數量（其實就是動態規劃中的「狀態」）,那麼怎麼從前面的狀態（並不一定是d(i-1)這乙個狀態）到d(i)這個狀態？假設硬幣集合為coins[0~n]，在求d(i)之前，我們假設d(1~i-1)全部都求出來了，那麼d(i)=min,if i-j 在coins中（其實這就是「狀態轉移方程」）。另我們把每種面值看作乙個點！表示「還需要湊足的面值」，初始狀態為s，目標狀態為0。那麼若當前狀態在i，每使用乙個硬幣j，狀態便轉移到i-vj。

舉例說明：coins=，n=11。

d(0)=0;

d(1)=0;

d(2)=d(0)+1=1;

d(3)=d(0)+1=1;

d(4)=d(2)+1=2;

d(5)=min=1;

d(6)=min=2;

.......................

同時為了求出最後的方案（不僅僅是硬幣個數），需要記錄求每個狀態選擇的「路徑」，例如:求d(5)我們選擇了d(0)+1，那麼我們選擇的路徑就是5-0=5。我們必須記錄這些路徑，然後根據路徑得出結果。對於d(6)，我們開始選擇了3,也就是說我們選擇了從d(3)狀態和硬幣3跳轉到d(6),接著對於d(3)，我們選擇了3，也就是說我們選擇了從d(0)狀態和硬幣3跳轉到了d(3)，接著對於d(0)，這個是初始狀態。所以我們得方案是3,3。

遞推（列印最小序）：

#include #include using namespace std;
const int maxn = 10000;
const int inf = 1000000000;
int n, s, v[maxn], minn[maxn], maxn[maxn];   
//minn[i]表示還需湊足價值為i的話，所需的最少的硬幣數目！maxn[i]表示還需湊足價值為i的話，所需的最多的硬幣數目！
void print_ans(int* d, int s) 
}}int main() 
for(int i=1; i<=s; ++i)
for(int i=1; i<=s; ++i)
printf("minn=%d\n",minn[i]);
for(int i = 1; i <= s; ++i) 
}}  cout << minn[s] << endl;
cout << maxn[s] << endl;
print_ans(minn, s);
cout << endl;
print_ans(maxn, s);
cout << endl;
return 0;
}

另一種列印方式：

#include #include using namespace std;
const int maxn = 10000;
const int inf = 1000000000;
int n, s, v[maxn], minn[maxn], maxn[maxn];
//minn[i]表示還需湊足價值為i的話，所需的最少的硬幣數目！maxn[i]表示還需湊足價值為i的話，所需的最多的硬幣數目！
int min_coin[maxn], max_coin[maxn];  
//min_coin[s]記錄的是滿足minn[s] = minn[s-v[i]]+1的最小的i。
void print_ans(int* d, int s) 
}int main() 
for(int i=1; i<=s; ++i)
for(int i = 1; i <= s; ++i) 
if(maxn[i] < maxn[i - v[j]] + 1) }}
}  cout << minn[s] << endl;
cout << maxn[s] << endl;
print_ans(min_coin, s);
cout << endl;
print_ans(max_coin, s);
cout << endl;
return 0;
}

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硬幣問題（DP）

dp 最少硬幣問題

最少硬幣問題 dp思想

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