問題描述：給定n個矩陣：a1,a
2,...,a
n，其中ai與a
i+1是可乘的，i=1，2...，n-1。確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。輸入資料為矩陣個數和每個矩陣規模，輸出結果為計算矩陣連乘積的計算次序和最少數乘次數。
問題解析：由於矩陣乘法滿足結合律，故計算矩陣的連乘積可以有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。若乙個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反覆呼叫2個矩陣相乘的標準演算法計算出矩陣連乘積。
完全加括號的矩陣連乘積可遞迴地定義為：
（1）單個矩陣是完全加括號的；
（2）矩陣連乘積a是完全加括號的，則a可表示為2個完全加括號的矩陣連乘積b和c的乘積並加括號，即a=(bc)
例如，矩陣連乘積a
1a2a3a4有5種不同的完全加括號的方式：(a1(a2(a3a4)))，(a1((a2a3)a4))，((a1a2)(a3a4))，((a1(a2a3))a4)，(((a1a2)a3)a4)。每一種完全加括號的方式對應於乙個矩陣連乘積的計算次序，這決定著作乘積所需要的計算量。
看下面乙個例子，計算三個矩陣連乘；維數分別為10*100 , 100*5 , 5*50 按此順序計算需要的次數((a1*a
2)*a
3):10x100x5+10x5x50=7500次，按此順序計算需要的次數(a
1*(a2*a3)):10*5*50+10*100*50=75000次
所以問題是：如何確定運算順序，可以使計算量達到最小化。
演算法思路：
例：設要計算矩陣連乘乘積a
1a2a3a4a5a6，其中各矩陣的維數分別是： a
1：30*35; a2：35*15; a3：15*5; a4：5*10; a5：10*20; a6：20*25
遞推關係：
設計算a[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數乘次數m[i,j]，則原問題的最優值為m[1,n]。
當i=j時，a[i:j]=a
i，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
當ik和a
k+1之間斷開，i<=ki-1pk
pj。由於在計算是並不知道斷開點k的位置，所以k還未定。不過k的位置只有j-i個可能。因此，k是這j-i個位置使計算量達到最小的那個位置。
綜上，有遞推關係如下：
構造最優解：
若將對應m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計算出最優值m[i][j]後，可遞迴地由s[i][j]構造出相應的最優解。s[i][j]中的數表明，計算矩陣鏈a[i:j]的最佳方式應在矩陣ak和a
k+1之間斷開，即最優的加括號方式應為(a[i:k])(a[k+1:j)。因此，從s[1][n]記錄的資訊可知計算a[1:n]的最優加括號方式為(a[1:s[1][n]])(a[s[1][n]+1:n])，進一步遞推，a[1:s[1][n]]的最優加括號方式為(a[1:s[1][s[1][n]]])(a[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以確定a[s[1][n]+1:n]的最優加括號方式在s[s[1][n]+1][n]處斷開...照此遞推下去，最終可以確定a[1:n]的最優完全加括號方式，及構造出問題的乙個最優解。
矩陣連乘 動態規劃 動態規劃解矩陣連乘問題
一.矩陣鏈事例 矩陣鏈問題主要涉及的時在多個矩陣相乘，如何通過相乘的順序來減少程式執行。二.例題分析 這次分析過程按照動態規劃的三個基本條件來逐步解答 1 尋找最優子結構 假設我們已經找到父矩陣鏈最優解，當我們劃分到最後一步時都是兩個子矩陣鏈 分別被括號包圍 相乘，如 a1a2a3a4 a5a6a7...
python矩陣連乘 動態規劃 矩陣連乘問題
一 問題描述 給定n個數字矩陣a1，a2，an，其中ai與ai 1是可乘的，設ai是pi 1 pi矩陣,i 1,2,n。求矩陣連乘a1a2.an的加括號方法，使得所用的乘次數最少。例子三個矩陣連乘，可以有 a1a2 a3和a1 a2a3 兩種方法求積 乘法次數分別為 p0p1p2 p0p2p3和p0...
動態規劃 矩陣連乘問題
給定n 1個矩陣 a0,a1,a2,an 1 其中ai與ai 1是可乘的，i 0,1,2,n 2。矩陣乘法滿足結合律。考察這n個矩陣的連乘積，得出運算次數最少的結合。首先，考慮兩個矩陣相乘。如果a b兩個矩陣可以相乘，那麼a b的形式必定滿足 a p q b q r 設c a b，那麼c滿足c p ...